Zadanie 13

W fabryce pobrano losową próbę 25 wyprodukowanych żarówek. Średni czas ich jarzenia wyniósł 4 miesiące, zaś współczynnik zmienności 10%. Przy współczynniku ufności 0,95, dokonać przedziałowej estymacji średniego czasu jarzenia żarówek produkowanych w tej fabryce.

 

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

 

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na ostatnie zdanie:

 

„Przy współczynniku ufności 0,95, dokonać przedziałowej estymacji średniego czasu jarzenia żarówek produkowanych w tej fabryce.”

 

Odnajdujemy zwrot: przedziałowej estymacji. Dodatkowo występuje tu wyrażenie: współczynnik ufności i w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

 

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

 

„W fabryce pobrano losową próbę 25 wyprodukowanych żarówek. ”

 

W tym momencie wiemy, że wylosowano losową próbę żarówek, a jej liczebność to i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla populacji.

 

„Średni czas ich jarzenia wyniósł 4 miesiące, zaś współczynnik zmienności 10%.”

 

Od razu określono parametry dla wylosowanej próby. Podano średni czas jarzenia, a więc średnią . Drugi parametr to współczynnik zmienności – oznacza się go - jest to zagadnienie ze statystyki opisowej opisane wzorem . Mając podany współczynnik zmienności i średnią od razu można wyznaczyć odchylenie standardowe , które z reguły i tak bywa potrzebne do dalszych obliczeń.

 

(każda liczba podzielona przez 1 nie ulega zmianie)

Wymnażamy na krzyż:

 

„Przy współczynniku ufności 0,95, dokonać przedziałowej estymacji średniego czasu jarzenia żarówek produkowanych w tej fabryce.”

 

Podano też poziom ufności , od razu wyznaczamy .

 

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 

POPULACJA żarówki produkowane w fabryce	PRÓBA 25 wybranych żarówek

- współczynnik ufności,

 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

„Przy współczynniku ufności 0,95, dokonać przedziałowej estymacji średniego czasu jarzenia żarówek produkowanych w tej fabryce.”

 

Wyraz średniego oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana, a liczebność próby jest mniejsza od 30 ( ), zatem wybieramy model II. W danych występuje , także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

 

 

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

 

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami.

 

 

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis oznacza statystykę dla i 24 stopni swobody.

Wracamy do obliczeń i podstawiamy

 

 

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

 

Ostatecznie otrzymujemy: .

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,95 wartość średniego czasu jarzenia żarówek produkowanych w tej fabryce mieści się w przedziale od 3,83 miesięcy do 4,17 miesięcy.

 

Zadanie pochodzi z: Statystyka: podstawy teoretyczne, przykłady, zadania / Mieczysław Sobczyk. - Wyd.1 - Lublin : Wydaw.Uniw.M.Curie-Skłodowskiej, 2000 - 425 s. ; 25 cm. - ISBN 83-227-1608-7