Zadanie 11

Czas świecenia żarówek jest zmienną losową o rozkładzie . Z partii żarówek pobrano 16-elementową niezależną próbę losową i otrzymano godz. Zbuduj przedział ufności dla średniego czasu świecenia żarówek zakładający .

 

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

 

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

 

„Zbuduj przedział ufności dla średniego czasu świecenia żarówek zakładający .”

 

Mamy tu wyrażenie: zbuduj przedział ufności - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej. Ponadto podano współczynnik ufności, który oznacza się .

 

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

 

„Czas świecenia żarówek jest zmienną losową o rozkładzie .”

 

Zapis oznacza, że czas świecenia żarówek jest zmienną losową o rozkładzie normalnym i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Ponadto możemy odczytać jeden z parametrów rozkładu tzn. odchylenie standardowe dla populacji i ostatecznie zapisać jako rozkład normalny o nieznanej średniej i znanym odchyleniu standardowym .

 

„Z partii żarówek pobrano 16-elementową niezależną próbę losową i otrzymano godz.”

 

W tym momencie wiemy, że wybrano próbę, a jej liczebność to i w związku z tym będziemy stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla populacji. Określono (oczywiście dla próby) średnią, czyli .

 

„Zbuduj przedział ufności dla średniego czasu świecenia żarówek zakładający .”

 

Na końcu podano współczynnik ufności . Od razu wyznaczamy .

 

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 

POPULACJA partia żarówek	PRÓBA 16 wybranych żarówek
- rozkład normalny o nieznanej średniej i odchyleniu standardowym

- współczynnik ufności,

 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

 

„Zbuduj przedział ufności dla średniego czasu świecenia żarówek zakładający .”

 

Wyrażenie średniego oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. jest znana i tylko model I jest odpowiedni. Liczebność próby nie jest w ogóle istotna.

 

 

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

 

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami.

 

 

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego. Zapis oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy i czyli .

 

Wracamy do obliczeń i podstawiamy (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

 

 

 

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

 

Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,95 średni czas świecenia żarówek całej partii mieści się w przedziale od 2723,05 do 2776,95 godz.

 

Zadanie pochodzi z: Statystyka w przykładach i zadaniach / Elżbieta Sojka. - Wyd.1 - Tychy : Śląskie Wydawnictwa Naukowe Wyższej Szkoły Zarządzania i Nauk Społecznych, 2003. - 222 s. ; 25 cm. - 83-89055-09-0