Estymacja przedziałowa

Na początek trochę teorii. Czym jest estymacja przedziałowa?

Estymacja przedziałowa jest metodą służącą do szacowania parametrów rozkładu zmiennej losowej w populacji generalnej. Definicja nie jest zbyt zachęcająca, więc wyjaśnię to inaczej. Estymacja przedziałowa pozwala nam oszacować z pewnym prawdopodobieństwem wartość różnych parametrów dla całej populacji np. średniej , wariancji , odchylenia standardowego , wskaźnika struktury (procentu, częstości, frakcji, odsetka) na podstawie wybranej próbki. W estymacji przedziałowej wynikiem oceny parametru nie jest konkretna wartość, ale przedział, w którym z określonym prawdopodobieństwem mieści się szacowana wartość parametru.

Wyjaśnijmy różnicę między próbą a populacją. Populacją jest cała zbiorowość, a próba jest wybraną częścią populacji. Posłużmy się konkretnymi przykładami:

- populacją jest ludność zamieszkująca Polskę, a próbą z tej populacji jest ludność wybranego województwa,

- populację stanowią drzewa na danym obszarze, a próbą z tej populacji jest np. 30 wybranych drzew, itd.

Graficznie:

Po wybraniu elementów próby możemy wyliczyć dla niej podstawowe parametry, tzn. średnią , wariancję lub oraz odchylenie standardowe lub , czyli zbadać ją wszerz i wzdłuż. Kolejnym etapem jest przełożenie wyników z próby na populację i właśnie w tym momencie pojawia się estymacja przedziałowa. Upraszczając badamy próbkę i na jej podstawie staramy się coś powiedzieć o całej populacji. Z reguły populacja jest zbyt duża, aby móc przenieść wnioski ze 100% pewnością poprawności wyników, dlatego robimy to z pewnym prawdopodobieństwem. Najczęściej jest to 0,99 , 0,98 , 0,95 , 0,9. W zadaniach prawdopodobieństwo określane jest jako współczynnik ufności i zapisywane jako . Im większa wartość tego współczynnika, tym szerszy przedział ufności, a więc mniejsza dokładność oszacowania parametru, ponieważ dłuższy przedział powoduje większy wybór szacowanych wartości. Im mniejsza wartość , tym większa dokładność estymacji, ale automatycznie oznacza to większe prawdopodobieństwo popełnienia błędu przy szacowaniu.

Teraz przedstawię swój tok myślenia przy rozwiązywaniu zadań dotyczących estymacji przedziałowej, który można uznać za schemat przy tego typu zadaniach.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Proponuje przeczytać całe zadanie i zwrócić uwagę na tzw. słowa – klucze:

- oszacować przedziałowo ...

- zbudować przedział ufności pokrywający ...

- wskazać przedział, w którym mieści się ...

Praktycznie zawsze występuje wyrażenie współczynnik ufności .

Jeżeli znaleźliśmy jakikolwiek z tych zwrotów na pewno mamy do czynienia z zadaniem dotyczącym estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Bardzo ważne jest prawidłowe wypisanie danych, ponieważ jeśli na tym etapie wkradnie się pomyłka, to zadanie nie będzie poprawnie rozwiązane.

Wspominałam wcześniej o różnicy między populacją a próbą i tu właśnie istotne jest wyłapanie danych dotyczących próby i populacji. Próba i populacja charakteryzują się konkretnymi parametrami, tzn. średnią, wariancją, odchyleniem standardowym, a ich oznaczenia różnią się. Oto tabela ukazująca różnice w oznaczeniach.

Z reguły podaje się współczynnik ufności , który wyrażony jest w ułamku lub w procentach. Zamieniajmy procenty na ułamki i od razu wyznaczajmy samą , ponieważ będzie ona nam potrzebna do czytania z tablic.

Teraz kilka uwag odnośnie i oraz i . Oznaczenia z tzw. daszkiem to odpowiednio odchylenie i wariancja nieobciążona. W praktyce różnią się od siebie sposobem liczenia, tzn. a (w dzielimy przez , a w dzielimy przez ). Jeśli w zadaniu będzie powiedziane, że odchylenie standardowe lub wariancja z próby wynoszą np. 7, to odpowiednio stosujemy zapis ( ). Używamy zapisu z daszkiem tylko w przypadku, gdy znajdziemy słowo nieobciążona lub po prostu w zadaniu jest wyraźny zapis .

W przypadku wyliczania wariancji ze wzorów lub , to będziemy z nich korzystać tylko wtedy, gdy w zadaniu nie podano „na tacy”, że odchylenie czy wariancja ma konkretną wartość. Najczęściej podana jest tabela z wynikami z próby lub po prostu wyniki podane po przecinku i tu na własną rękę trzeba wyliczać średnią, wariancję czy odchylenie standardowe (jest to zagadnienie ze statystyki opisowej). Korzystamy najczęściej ze wzorów w wersji bez daszka. Tak więc tu pojawia się informacja godna zapamiętania – jeśli dysponujemy tabelką lub wynikami z próby zawsze możemy policzyć średnią, wariancję, odchylenie standardowe.

Czasem bywa, że musimy podać lub dysponując albo .

Oto wzory: , a .

W jaki sposób wypisując dane odróżniamy próbę od populacji? Najlepiej czytajmy po jednym zdaniu. Jeżeli pojawiają się zwroty np. wylosowano próbę, zmierzono x obserwacji, obserwowano x próbek, zbadano... to jakiekolwiek dane po tych słowach zapisujemy używając symboli dla próby, zresztą i tak pojawia się się konkretna liczba mówiąca o liczebności wylosowanej próby. Jeśli nie ma wyraźnie niczego na temat próby lub występuje zwrot: rozkład normalny ze średnią bądź odchyleniem standardowym to używamy symboli dla populacji.

Nie należy się dziwić, gdy po wypisaniu danych okaże się, że miejsce na parametry z populacji jest puste. To dość częsta sytuacja.

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Po wypisaniu danych należy wybrać odpowiedni wzór. W tym celu szukamy w zadaniu dla jakiego parametru mamy zbudować przedział ufności tzn. średniej (wartości oczekiwanej), wariancji, odchylenia standardowego czy wskaźnika struktury (częstości, frakcji, odsetka, procentu). Pamiętajmy, że szacujemy parametry z populacji, a więc używamy oznaczeń , , , ( w końcu po to badamy próbę, by móc coś powiedzieć na temat całej zbiorowości).

W przypadku, gdy mamy do czynienia z zadaniem, gdzie podany jest przedział ufności, ale szukamy np. współczynnika ufności albo innych zmiennych, które przeważnie są danymi (zadanie „od tyłu” :D) również stosujemy ten mechanizm.

Kartę ze wzorami można pobrać tu.

W tabeli poniżej przedstawione zostaną charakterystyczne sformułowania i dopasowanie do odpowiednich wzorów:

Jeśli już wiemy jaki parametr mamy oszacować przedziałem ufności, to wybieramy wzór na podstawie danych, które wypisaliśmy wcześniej. Z tabeli wynika, że średnia i wariancja mają kilka modeli wzorów do wyboru. Tu kierujemy się elementami wyszczególnionymi kolorem czerwonym tzn. liczebnością próby i czy jest znana.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Po wybraniu odpowiedniego wzoru należy uzupełnić go wielkościami wypisanymi w danych. Dla przykładu użyję dowolnego wzoru:

Wielkości zaznaczone na zielono zastępujemy liczbami z danych, reszta zostaje nienaruszona.

We wzorach pojawiają się różne litery, które wcześniej nie były wypisane w danych tzn. , , , . Symbole te po uzupełnieniu i oznaczają konieczność odczytania wartości statystyk z tablic:

• - tablice t – Studenta
• - tablice rozkładu normalnego (nie mylić z tablicami dystrybuanty rozkładu normalnego)
• , - tablice chi - kwadrat

Odpowiednie tablice można pobrać tu.

Odczytywanie statystyk z tablic jest jest bardzo prostą czynnością i będzie przedstawiona na konkretnych przykładach. Po odczytaniu cały symbol tzn. , , , zastępujemy jedną liczbą.

Podsumowując ten wątek można dojść do wniosku, że dopiero po wybraniu wzoru należy odczytać wartości statystyk z odpowiednich tablic. Tak więc wzór spokojnie nam wskaże, które tablice mamy wybrać :).

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Rezultatem obliczeń jest zapis:

, gdzie oczywiście symbole , , , wybierane są opcjonalnie w zależności od treści zadania. Oczywiście nie dotyczy to zadań „od tyłu”, gdzie szukamy współczynnika ufności lub innych wartości, które najczęściej są wypisywane w danych.

Jeśli wymagana jest interpretacja, to wygląda ona zawsze bardzo podobnie:

Z ufnością (tu wpisujemy wartość współczynnika ufności ) wartość nieznanej(-ego) (średniej, wariancji, odchylenia standardowego, wskaźnika struktury) dla całej populacji (czegoś tam :) zależy o czym mowa w zadaniu) mieści się w przedziale od do .