Z populacji liczącej 1000 robotników wylosowano niezależną próbę liczącą 120 osób i ustalono, że wariancja odsetka wykonania normy w tej próbie wynosi 64. Oszacować z prawdopodobieństwem 0,95, odchylenie standardowe odsetka wykonania dziennej normy ogółu pracowników, jeżeli zakłada się, że odsetek ten ma rozkład normalny.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Oszacować z prawdopodobieństwem 0,95, odchylenie standardowe odsetka wykonania dziennej normy ogółu pracowników, jeżeli zakłada się, że odsetek ten ma rozkład normalny.

Co prawda nie użyto bezpośrednio zwrotu przedział ufności, ale musimy oszacować odchylenie standardowe odsetka wykonania dziennej normy, więc wypadałoby podać przedział ufności, bo tzw. estymacja punktowa (tzn. konkretna liczba, a nie przedział) daje wynik o prawdopodobieństwie praktycznie równym zero. Dodatkowo występuje tu słowo: prawdopodobieństwo czyli współczynnik ufności i w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Z populacji liczącej 1000 robotników wylosowano niezależną próbę liczącą 120 osób i ustalono, że wariancja odsetka wykonania normy w tej próbie wynosi 64.

Na początku dowiadujemy się, że populacja liczy robotników. Później zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości osób spośród wszystkich robotników. Oznaczamy więc liczebność próby . Dodatkowo podano jeden z podstawowych parametrów dla próby tzn. wariancję (oczywiście używamy oznaczenia dla próby). Dysponując wariancją można od razu podać odchylenie standardowe dla próby będące pierwiastkiem kwadratowym z wariancji .

Oszacować z prawdopodobieństwem 0,95, odchylenie standardowe odsetka wykonania dziennej normy ogółu pracowników, jeżeli zakłada się, że odsetek ten ma rozkład normalny.

Podano współczynnik ufności . Od razu wyznaczamy . W tym zdaniu występuje również założenie normalności rozkładu odsetka wykonania dziennej normy ogółu pracowników i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać - rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA 1000 robotników	PRÓBA 120 wybranych robotników
- rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Oszacować z prawdopodobieństwem 0,95, odchylenie standardowe odsetka wykonania dziennej normy ogółu pracowników, jeżeli zakłada się, że odsetek ten ma rozkład normalny.

Wyrażenie odchylenie standardowe oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla odchylenia standardowego z populacji. W powyższym zdaniu znajduje się też słowo odsetek, co kojarzy się ze wskaźnikiem struktury i nieco zaciemnia sytuację, ale wyraźnie określono, że należy oszacować odchylenie standardowe właśnie dla tego odsetka.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla odchylenia standardowego mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana , a liczebność próby jest większa od 30 , zatem wybieramy model II .

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u , zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego (link). Zapis oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy i czyli .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego):

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,95 nieznane odchylenie standardowe odsetka wykonania dziennej normy ogółu pracowników mieści się w przedziale od 7,1 do 9,16.

Statystyka zbiór zadań / Helena Kassyk-Rokicka, Warszawa : Państwowe Wydawnictwo Ekonomiczne, 1994. - Wyd. 4 uaktual., ISBN: 83-208-0922-3, str. 85