NEW
Kategoria-Matematyka Kategoria-Statystyka Kategoria-Korepetycje
Kategoria-Matematyka.Podkategoria-PrzydatneWzory Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Gimnazjum Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Liceum Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Studia Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Wzory Kategoria-Statystyka.Podkategoria-StatystykaOpisowa Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Wnioskowanie Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Testy Kategoria-Korepetycje.Podkategoria-Matematyka Kategoria-Korepetycje.Podkategoria-Statystyka
 

Z populacji liczącej 1000 robotników wylosowano niezależną próbę liczącą 120 osób i ustalono, że wariancja odsetka wykonania normy w tej próbie wynosi 64. Oszacować z prawdopodobieństwem 0,95, odchylenie standardowe odsetka wykonania dziennej normy ogółu pracowników, jeżeli zakłada się, że odsetek ten ma rozkład normalny.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Oszacować z prawdopodobieństwem 0,95, odchylenie standardowe odsetka wykonania dziennej normy ogółu pracowników, jeżeli zakłada się, że odsetek ten ma rozkład normalny.

Co prawda nie użyto bezpośrednio zwrotu przedział ufności, ale musimy oszacować odchylenie standardowe odsetka wykonania dziennej normy, więc wypadałoby podać przedział ufności, bo tzw. estymacja punktowa (tzn. konkretna liczba, a nie przedział) daje wynik o prawdopodobieństwie praktycznie równym zero. Dodatkowo występuje tu słowo: prawdopodobieństwo czyli współczynnik ufności i w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Z populacji liczącej 1000 robotników wylosowano niezależną próbę liczącą 120 osób i ustalono, że wariancja odsetka wykonania normy w tej próbie wynosi 64.

Na początku dowiadujemy się, że populacja liczy Estymacja odchylenie  1845 robotników. Później zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości osób spośród wszystkich robotników. Oznaczamy więc liczebność próby Estymacja odchylenie  1846 . Dodatkowo podano jeden z podstawowych parametrów dla próby tzn. wariancję Estymacja odchylenie  1847 (oczywiście używamy oznaczenia dla próby). Dysponując wariancją można od razu podać odchylenie standardowe dla próby będące pierwiastkiem kwadratowym z wariancji Estymacja odchylenie  1848 .

Oszacować z prawdopodobieństwem 0,95, odchylenie standardowe odsetka wykonania dziennej normy ogółu pracowników, jeżeli zakłada się, że odsetek ten ma rozkład normalny.

Podano współczynnik ufności Estymacja odchylenie  1849 . Od razu wyznaczamy Estymacja odchylenie  1850 . W tym zdaniu występuje również założenie normalności rozkładu odsetka wykonania dziennej normy ogółu pracowników i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać Estymacja odchylenie  1851 - rozkład normalny o nieznanej średniej Estymacja odchylenie  1852 i nieznanym odchyleniu standardowym Estymacja odchylenie  1853 .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA 1000 robotników
PRÓBA 120 wybranych robotników
Estymacja odchylenie  1854 Estymacja odchylenie  1855 - rozkład normalny o nieznanej średniej Estymacja odchylenie  1856 i nieznanym odchyleniu standardowym Estymacja odchylenie  1857
Estymacja odchylenie  1858

Estymacja odchylenie  1859 - współczynnik ufności, Estymacja odchylenie  1860

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Oszacować z prawdopodobieństwem 0,95, odchylenie standardowe odsetka wykonania dziennej normy ogółu pracowników, jeżeli zakłada się, że odsetek ten ma rozkład normalny.

Wyrażenie odchylenie standardowe oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla odchylenia standardowego Estymacja odchylenie  1861 z populacji. W powyższym zdaniu znajduje się też słowo odsetek, co kojarzy się ze wskaźnikiem struktury i nieco zaciemnia sytuację, ale wyraźnie określono, że należy oszacować odchylenie standardowe właśnie dla tego odsetka.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla odchylenia standardowego mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest Estymacja odchylenie  1862 znana i jaka jest liczebność próby. Estymacja odchylenie  1863 nie jest znana , a liczebność próby Estymacja odchylenie  1864 jest większa od 30 Estymacja odchylenie  1865 , zatem wybieramy model II .

Estymacja odchylenie  1866

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór Estymacja odchylenie  1867 konkretnymi danymi.

Estymacja odchylenie  1868

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u , zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego (link). Zapis Estymacja odchylenie  1869 oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla Estymacja odchylenie  1870 . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku Estymacja odchylenie  1871 sumujemy Estymacja odchylenie  1872 i Estymacja odchylenie  1873 czyli Estymacja odchylenie  1874 .

Estymacja odchylenie  1875

Wracamy do obliczeń i podstawiamy Estymacja odchylenie  1876 (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego):

Estymacja odchylenie  1877

Estymacja odchylenie  1878

Estymacja odchylenie  1879

Estymacja odchylenie  1880

Estymacja odchylenie  1881

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: Estymacja odchylenie  1882

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,95 nieznane odchylenie standardowe odsetka wykonania dziennej normy ogółu pracowników mieści się w przedziale od 7,1 do 9,16.

Statystyka zbiór zadań / Helena Kassyk-Rokicka, Warszawa : Państwowe Wydawnictwo Ekonomiczne, 1994. - Wyd. 4 uaktual., ISBN: 83-208-0922-3, str. 85