Badanie wydajności jednej z firm, przeprowadzone na podstawie 100-elementowej próby losowej prostej, dało następujące wyniki:

Jakiego zróżnicowania wydajności pracy należy spodziewać się w całej populacji pracowników przy współczynniku ufności 0,96? Zakładamy, że rozkład badanej cechy jest normalny.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Jakiego zróżnicowania wydajności pracy należy spodziewać się w całej populacji pracowników przy współczynniku ufności 0,96?

Co prawda nie użyto bezpośrednio zwrotu przedział ufności, ale musimy określić zróżnicowanie wydajności pracy dla całej populacji na podstawie wylosowanej próby, więc wypadałoby podać przedział ufności, bo tzw. estymacja punktowa (tzn. konkretna liczba, a nie przedział) daje wynik o prawdopodobieństwie praktycznie równym zero. Dodatkowo występuje tu zwrot: współczynnik ufności i w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Badanie wydajności jednej z firm, przeprowadzone na podstawie 100-elementowej próby losowej prostej, dało następujące wyniki:

Od razu uzyskujemy informację, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to osób i od tego momentu będziemy stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla populacji. Podano również wyniki z próby w tabeli. Jeżeli dysponujemy danymi dotyczącymi próby ujętymi w tabeli, to zawsze możemy policzyć średnią , wariancję i odchylenie standardowe (lub , ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

Jakiego zróżnicowania wydajności pracy należy spodziewać się w całej populacji pracowników przy współczynniku ufności 0,96?

Podano też współczynnik ufności . Od razu wyznaczamy .

Zakładamy, że rozkład badanej cechy jest normalny.

W tym zdaniu występuje założenie normalności rozkładu wydajności pracy i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać - rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA pracownicy pewnej firmy	PRÓBA 100 wybranych pracowników
- rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym	- dane tabelaryczne (można obliczyć średnią , wariancję , odchylenie standardowe )

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Jakiego zróżnicowania wydajności pracy należy spodziewać się w całej populacji pracowników przy współczynniku ufności 0,96?

Wyrażenie zróżnicowanie nie wskazuje bezpośrednio na parametr, który należy oszacować przedziałem ufności, ale jeśli w zdaniu odnajdziemy takie słowo, to wiąże się ono albo z wariancją albo odchyleniem standardowym i to od nas zależy, który z nich wybierzemy (w końcu odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji). Także w tym zadaniu będziemy budować przedział ufności dla odchylenia standardowego z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla odchylenia standardowego mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana , a liczebność próby jest większa od 30 , zatem wybieramy model II .

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.

Jak widać do obliczenia końcówek przedziału ufności potrzebujemy odchylenia standardowego z próby. W związku z tym, zanim zajmiemy się uzupełnianiem właściwego wzoru, należy obliczyć (na razie) nieznany parametr. Liczenie odchylenia standardowego jest zagadnieniem ze statystyki opisowej. Dysponujemy danymi tabelarycznymi, gdzie warianty cechy (wiek w latach) są w formie przedziałów tzn. od jednej wartości do drugiej wartości. Taki szereg określa się szeregiem rozdzielczym przedziałowym. Przeredagujmy zatem tabelę z zadania właśnie na tą postać szeregu.

- warianty obserwacji (wydajność w sztukach)	- liczebności poszczególnych przedziałów klasowych (liczba osób)
(suma)

W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego nie ma możliwości pomyłki do tego, co jest wariantem cechy, a co liczebnością , ponieważ nie zdarza się, aby było zapisane w formie przedziałów. Symbol to po prostu ogólny zapis przedziału lewostronnie domkniętego i prawostronnie otwartego (chyba najczęściej używany – chociaż zależy od preferencji prowadzącego). Należy pilnować, aby końcówka każdego przedziału była początkiem następnego. W tabeli z zadania mamy właśnie przedstawioną sytuację , (kończymy przedział na 4, następny również zaczynamy od 4), itd. w związku z tym nie musimy nic zmieniać, zachowana jest ciągłość.

Aby otrzymać odchylenie standardowe i tak musimy obliczyć wariancję, bo odchylenie jest pierwiastkiem kwadratowym z wariacji. Wzór na wariancję z danych szeregu przedziałowego wygląda następująco: . Jest też alternatywa , ale będziemy używać pierwszej wersji. Okazuje się, że do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia.

W szeregu przedziałowym średnią liczymy ze wzoru . Na początku wyjaśnijmy symbol . Oznacza on środek każdego z podanych przedziałów, a obliczany jest na podstawie formuły . Upraszczając, należy zsumować początek i koniec każdego przedziału i wynik podzielić na dwa. Wracamy do wzoru na średnią. Znak oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis , a nad nim , to środki kolejnych przedziałów , a liczebności dla kolejnych przedziałów. Wszystko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne iloczyny , gdzie będzie rosło od aż do wartości , czyli , a więc ogólnie:

W naszym przypadku znad znaku sumy oznacza liczbę przedziałów klasowych (ilość wierszy w tabeli z danymi). Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:

=

Czym jest , oraz ? Wszystko to zostanie pokazane dokładnie w tabeli. Obliczmy w niej również środki poszczególnych przedziałów.

Numer klasy	- warianty obserwacji (wiek)	- środki przedziałów	- liczebności poszczególnych przedziałów klasowych (liczba osób)
	(suma)

Uzupełniając wzór średniej dla otrzymujemy:

= i oczywiście możemy uzupełnić go danymi z tabeli, ale proponuję nadal korzystać z tabeli i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższy niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na średnią z szeregu przedziałowego, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Każdą wartość mnożymy przez odpowiadającą jej wartość , a następnie sumujemy powstałe iloczyny. Przecięcie wiersza z symbolem i kolumny daje kompletny licznik wzoru na średnią.

Numer klasy	- środki przedziałów	- liczebności poszczególnych przedziałów klasowych

Dysponujemy wartością średniej, zatem możemy wrócić do obliczania wariancji. Rozpiszemy wzór analogicznie jak w przypadku średniej. Najpierw ogólnie:

i dla :

Tu też można podstawiać dane z tabeli, ale ponownie proponuję trzymać się obliczeń tabelarycznych. Można kontynuować poprzednią tabelę dopisując kolejne kolumny. Znowu krok po kroku będziemy tworzyć licznik ze wzoru. Dopisana pierwsza kolumna - od każdego środka przedziału odejmujemy wcześniej wyliczoną średnią , druga kolumna to podniesienie wyników z poprzedniej do kwadratu. Ostatnia to wymnożenie wyników z drugiej przez odpowiadające im wartości i dopiero ona jest sumowana (przecięcie wiersza z symbolem i daje kompletny licznik wzoru na wariancję).

Numer klasy	- środki przedziałów	- liczebności poszczególnych przedziałów klasowych

Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji .

Wracamy do danych z tabeli i wreszcie uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u , zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego (link). Zapis oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy i czyli .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego):

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,96 nieznane odchylenie standardowe wydajności pracy w całej populacji pracowników mieści się w przedziale od 3,48 do 4,62 sztuk.

Mieczysław Sobczyk - Statystyka. Aspekty praktyczne i teoretyczne, Wydawnictwo: Uniwersytet Marii Curie - Skłodowskiej 2006,ISBN: 83-227-2423-3, str. 118