Na plantacji roślin ozdobnych wylosowano 200 kwiatów z różnych chryzantem tej samej odmiany Y . W wyniku przeprowadzonych pomiarów ustalono, że przeciętna średnica kwiatu wynosi cm, jej wariancja zaś cm ² . Zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego średnicy kwiatu chryzantemy Y przy założeniu, że średnica ta ma rozkład normalny. Przy konstruowaniu przedziału ufności przyjąć współczynnik ufności na poziomie .

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego średnicy kwiatu chryzantemy Y przy założeniu, że średnica ta ma rozkład normalny.

Występuje tu zwrot: zbudować przedział ufności - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

W kolejnym zdaniu:

Przy konstruowaniu przedziału ufności przyjąć współczynnik ufności na poziomie .

odnajdujemy wyrażenie współczynnik ufności .

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Na plantacji roślin ozdobnych wylosowano 200 kwiatów z różnych chryzantem tej samej odmiany Y.

Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości kwiatów spośród wszystkich chryzantem odmiany Y . Oznaczamy więc liczebność próby .

W wyniku przeprowadzonych pomiarów ustalono, że przeciętna średnica kwiatu wynosi cm, jej wariancja zaś cm ² .

Dodatkowo podano podstawowe parametry dla próby na podstawie przeprowadzonych pomiarów: przeciętna średnica kwiatu wynosi 15 cm, a więc , a wariancja 20,25 cm ² , czyli i nie ma tu wątpliwości co do oznaczeń. Użycie symbolu zamiast nic nie zmienia - obydwa oznaczają to samo. Niektórzy z Was mogą być zaskoczeni jednostką użytą w wariancji, ponieważ średnicę podaje się w cm, a nie cm ² . Dzieje się tak dlatego, gdyż sama wariancja nie podlega interpretacji, a jednostka (nieważne jaka) jest zawsze podniesiona do kwadratu. Od razu można wyznaczyć odchylenie standardowe jako pierwiastek kwadratowy z wariancji .

Zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego średnicy kwiatu chryzantemy Y przy założeniu, że średnica ta ma rozkład normalny .

W tym zdaniu występuje założenie normalności rozkładu średnicy kwiatów i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać - rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym .

Przy konstruowaniu przedziału ufności przyjąć współczynnik ufności na poziomie .

Podano współczynnik ufności . Od razu wyznaczamy .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA chryzantemy z odmiany Y	PRÓBA 200 wybranych kwiatów
- rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w przedostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego średnicy kwiatu chryzantemy Y przy założeniu, że średnica ta ma rozkład normalny.

Wyrażenie odchylenie standardowe oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla odchylenia standardowego z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla odchylenia standardowego mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana , a liczebność próby jest większa od 30 , zatem wybieramy model II .

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u , zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego (link). Zapis oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy i czyli .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego):

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,99 nieznane odchylenie standardowe średnicy kwiatu dla populacji chryzantemy Y mieści się w przedziale od 3,99 do 5,17 cm.

Elementy statystyki w zadaniach / Karol Kukuła - Wyd.2 popr. i rozsz. - Warszawa : Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007. - 262 s. ; 24 cm. - ISBN 978-83-01-13819-6, str. 147