NEW
Kategoria-Matematyka Kategoria-Statystyka Kategoria-Korepetycje
Kategoria-Matematyka.Podkategoria-PrzydatneWzory Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Gimnazjum Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Liceum Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Studia Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Wzory Kategoria-Statystyka.Podkategoria-StatystykaOpisowa Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Wnioskowanie Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Testy Kategoria-Korepetycje.Podkategoria-Matematyka Kategoria-Korepetycje.Podkategoria-Statystyka
 

Wymiary 6 losowo wybranych detali, wyrażone w mm, kształtowały się następująco: 6,3; 5,9; 6,2; 5,8; 5,7; 6,1.

1. Przyjmując założenie, że rozkład wymiarów ogółu produkowanych detali jest normalny, przy współczynniku ufności równym 0,90, oszacować nieznane odchylenie standardowe wymiarów ogółu produkowanych detali.

2. Co należałoby uczynić, aby zwiększyć dokładność oszacowania?

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Przyjmując założenie, że rozkład wymiarów ogółu produkowanych detali jest normalny, przy współczynniku ufności równym 0,90, oszacować nieznane odchylenie standardowe wymiarów ogółu produkowanych detali.

Co prawda nie użyto bezpośrednio zwrotu przedział ufności, ale musimy oszacować odchylenie standardowe wymiarów ogółu produkowanych detali, więc wypadałoby podać przedział ufności, bo tzw. estymacja punktowa (tzn. konkretna liczba, a nie przedział) daje wynik o prawdopodobieństwie praktycznie równym zero. Dodatkowo występuje tu wyrażenie: współczynnik ufności i w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

Po oszacowaniu przedziału ufności zostanie udzielona odpowiedź na pytanie drugie.

Ad. 1)

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Wymiary 6 losowo wybranych detali, wyrażone w mm, kształtowały się następująco: 6,3; 5,9; 6,2; 5,8; 5,7; 6,1.

W tym momencie wiemy, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to Estymacja odchylenie  492 detali i w związku z tym będziemy stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla populacji. Podano również informacje o konkretnych wynikach z próby. Jeżeli dysponujemy wartościami wypisanymi po przecinku tzw. danymi indywidualnymi, to zawsze możemy policzyć średnią Estymacja odchylenie  493 , wariancję Estymacja odchylenie  494 i odchylenie standardowe Estymacja odchylenie  495 (lub Estymacja odchylenie  496 , Estymacja odchylenie  497 ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

Przyjmując założenie, że rozkład wymiarów ogółu produkowanych detali jest normalny, przy współczynniku ufności równym 0,90, oszacować nieznane odchylenie standardowe wymiarów ogółu produkowanych detali.

W tym zdaniu występuje założenie normalności rozkładu wymiarów ogółu produkowanych detali i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać Estymacja odchylenie  498 - rozkład normalny o nieznanej średniej Estymacja odchylenie  499 i nieznanym odchyleniu standardowym Estymacja odchylenie  500 . Podano również współczynnik ufności Estymacja odchylenie  501 . Od razu wyznaczamy Estymacja odchylenie  502 .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA produkowane detale
PRÓBA 6 wybranych detali
Estymacja odchylenie  503 - rozkład normalny o nieznanej średniej Estymacja odchylenie  504 i nieznanym odchyleniu standardowym Estymacja odchylenie  505
Estymacja odchylenie  506 Estymacja odchylenie  507 - dane indywidualne (można obliczyć średnią Estymacja odchylenie  508 , wariancję Estymacja odchylenie  509 , odchylenie standardowe Estymacja odchylenie  510 )

Estymacja odchylenie  511 - współczynnik ufności, Estymacja odchylenie  512

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w przedostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Przyjmując założenie, że rozkład wymiarów ogółu produkowanych detali jest normalny, przy współczynniku ufności równym 0,90, oszacować nieznane odchylenie standardowe wymiarów ogółu produkowanych detali.

Zwrot odchylenie standardowe oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla odchylenia standardowego Estymacja odchylenie  513 z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla odchylenia standardowego mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest Estymacja odchylenie  514 znana i jaka jest liczebność próby. Estymacja odchylenie  515 nie jest znana , a liczebność próby Estymacja odchylenie  516 jest mniejsza od 30 Estymacja odchylenie  517 , zatem wybieramy model I . W danych nie ma Estymacja odchylenie  518 ani Estymacja odchylenie  519 , więc nie ma znaczenia, którą wersję wzoru wybierzemy, bo dysponując danymi można obliczyć oba parametry. Z reguły interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

Estymacja odchylenie  520

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór Estymacja odchylenie  521 konkretnymi danymi.

Jak widać brakuje tylko Estymacja odchylenie  522 , więc dopóki nie znajdziemy wartości tego parametru nie możemy obliczyć końcówek przedziału ufności dla odchylenia standardowego. Wyliczanie wariancji z próby jest zagadnieniem ze statystki opisowej.

Dysponujemy danymi indywidualnymi (wynikami wypisanymi po przecinku), jest ich niewiele i nie powtarzają się, zatem wariancję liczymy ze wzoru związanego z danymi indywidualnymi: Estymacja odchylenie  523 lub Estymacja odchylenie  524 Estymacja odchylenie  525 (obie wersje są równoważne, w praktyce pierwsza wersja jest częściej używana). Teraz okazuje się, że w formule pozwalającej wyznaczyć wariancję potrzebna jest wartość średnia Estymacja odchylenie  526 , więc to od niej należy zacząć obliczenia.

Wzór na średnią z danych indywidualnych wygląda następująco: Estymacja odchylenie  527 Estymacja odchylenie  528 . Oczywiście na chłopski rozum średnią można policzyć sumując wszystkie dane, a potem dzieląc przez ilość – jest to jak najbardziej prawidłowe rozwiązanie, a podany wzór oznacza to samo. Jednak zdaję sobie sprawę, że widząc „hieroglify” tego typu wiele osób nie wie co robić, a tym bardziej jak je rozpisywać :). Mając to na uwadze postaram się przybliżyć kwestię podobnych oznaczeń rozpisując je na czynniki pierwsze.

Znak Estymacja odchylenie  529 to symbol sumy. Pod nim znajduje się zapis Estymacja odchylenie  530 , a nad nim Estymacja odchylenie  531 , Estymacja odchylenie  532 to wartości kolejnych obserwacji. Wszytko razem oznacza, że będziemy dodawać kolejne obserwacje oznaczone symbolem Estymacja odchylenie  533 , gdzie Estymacja odchylenie  534 będzie rosło od Estymacja odchylenie  535 aż do wartości Estymacja odchylenie  536 , a więc Estymacja odchylenie  537 :

Estymacja odchylenie  538

Tak więc średnia po rozpisaniu wygląda następująco:

Estymacja odchylenie  539 Estymacja odchylenie  540

Teraz przełożymy wszystko na dane z zadania. Liczebność próby wynosi Estymacja odchylenie  541 , a więc wzór na średnią możemy zapisać następująco:

Estymacja odchylenie  542 Estymacja odchylenie  543

Czym jest Estymacja odchylenie  544 ? Są to konkretne wyniki z próby, a więc Estymacja odchylenie  545 . Jeśli ktoś chciałby uporządkować dane indywidualne od najmniejszej do największej, może to spokojnie wykonać. Porządkowanie liczb nie wpływa na wartość średniej, także może zostać tak jak jest. A więc np. Estymacja odchylenie  546 .

Obliczamy średnią:

Estymacja odchylenie  547 Estymacja odchylenie  548

Dysponując wartością liczbową średniej możemy obliczyć wariancję Estymacja odchylenie  549 . Rozpisanie wzoru wykonujemy analogicznie jak w przypadku średniej. Na początek ogólnie:

Estymacja odchylenie  550

i dla Estymacja odchylenie  551 :

Estymacja odchylenie  552

Możemy już podstawiać liczby za Estymacja odchylenie  553 , ale proponuję utworzyć tabelkę i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru bywa dość długi i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na wariancję z danych indywidualnych, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Na początku od każdej wartości Estymacja odchylenie  554 odejmujemy średnią, a następnie wynik podnosimy do kwadratu. Sumujemy ostatnią kolumnę (przecięcie wiersza z symbolem Estymacja odchylenie  555 i Estymacja odchylenie  556 daje kompletny licznik wzoru na wariancję )

Estymacja odchylenie  557
Estymacja odchylenie  558
Estymacja odchylenie  559
Estymacja odchylenie  560
Estymacja odchylenie  561
Estymacja odchylenie  562
Estymacja odchylenie  563
Estymacja odchylenie  564
Estymacja odchylenie  565
Estymacja odchylenie  566
Estymacja odchylenie  567
Estymacja odchylenie  568
Estymacja odchylenie  569
Estymacja odchylenie  570
Estymacja odchylenie  571
Estymacja odchylenie  572
Estymacja odchylenie  573
Estymacja odchylenie  574
Estymacja odchylenie  575
Estymacja odchylenie  576
Estymacja odchylenie  577
Estymacja odchylenie  578 (suma)
Estymacja odchylenie  579

A więc Estymacja odchylenie  580

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór Estymacja odchylenie  581 :

Estymacja odchylenie  582

Estymacja odchylenie  583

Estymacja odchylenie  584

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka Estymacja odchylenie  585 (grecka litera czyt. chi ), zatem skorzystamy z tablic rozkładu chi-kwadrat (link). W tym przypadku będziemy odczytywać statystykę dwukrotnie, ponieważ w uzupełnionym wzorze występują dwa nieco różniące się symbole: Estymacja odchylenie  586 oraz Estymacja odchylenie  587 . Zapis Estymacja odchylenie  588 oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla Estymacja odchylenie  589 i 5 stopni swobody:

Estymacja odchylenie  590

Z kolei zapis Estymacja odchylenie  591 oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla Estymacja odchylenie  592 i 5 stopni swobody:

Estymacja odchylenie  593

Wracamy do obliczeń i podstawiamy Estymacja odchylenie  594 oraz Estymacja odchylenie  595 :

Estymacja odchylenie  596

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: Estymacja odchylenie  597

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,90 nieznane odchylenie standardowe wymiarów ogółu produkowanych detali mieści się w przedziale od 0,16 do 0,49 mm.

Ad. 2)

Aby zwiększyć dokładność oszacowania można:

- zwiększyć liczebność próby Estymacja odchylenie  598 – gdy rośnie ilość obserwacji, to automatycznie poprawia się precyzja oceny (przedział ufności ulega skróceniu).

- zmniejszyć poziom ufności Estymacja odchylenie  599 co spowoduje skrócenie długości przedziału, tym samym precyzja oszacowania poprawia się.

Statystyka zbiór zadań / Helena Kassyk-Rokicka, Warszawa : Państwowe Wydawnictwo Ekonomiczne, 1994. - Wyd. 4 uaktual., ISBN: 83-208-0922-3, str. 85