NEW
Kategoria-Matematyka Kategoria-Statystyka Kategoria-Korepetycje
Kategoria-Matematyka.Podkategoria-PrzydatneWzory Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Gimnazjum Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Liceum Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Studia Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Wzory Kategoria-Statystyka.Podkategoria-StatystykaOpisowa Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Wnioskowanie Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Testy Kategoria-Korepetycje.Podkategoria-Matematyka Kategoria-Korepetycje.Podkategoria-Statystyka
 

Wylosowano 5 worków cementu. Ich waga (w kg) wynosiła: 50,2; 50,3; 50,5; 50,5; 50,4. Oszacuj - przy współczynniku ufności 0,90 - odchylenie standardowe wagi wszystkich worków cementu.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Oszacuj - przy współczynniku ufności 0,90 - odchylenie standardowe wagi wszystkich worków cementu.

Co prawda nie użyto bezpośrednio zwrotu przedział ufności, ale musimy oszacować odchylenie standardowe wagi wszystkich worków cementu, więc wypadałoby podać przedział ufności, bo tzw. estymacja punktowa (tzn. konkretna liczba, a nie przedział) daje wynik o prawdopodobieństwie praktycznie równym zero. Dodatkowo występuje tu wyrażenie: współczynnik ufności i w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Wylosowano 5 worków cementu.

W tym momencie wiemy, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to Estymacja odchylenie  395 worków cementu i w związku z tym będziemy stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla populacji.

Ich waga (w kg) wynosiła: 50,2; 50,3; 50,5; 50,5; 50,4.

Podano również informacje o konkretnych wynikach z próby. Jeżeli dysponujemy wartościami wypisanymi po przecinku tzw. danymi indywidualnymi, to zawsze możemy policzyć średnią Estymacja odchylenie  396 , wariancję Estymacja odchylenie  397 i odchylenie standardowe Estymacja odchylenie  398 (lub Estymacja odchylenie  399 , Estymacja odchylenie  400 ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

Oszacuj - przy współczynniku ufności 0,90 - odchylenie standardowe wagi wszystkich worków cementu.

Podano współczynnik ufności Estymacja odchylenie  401 . Od razu wyznaczamy Estymacja odchylenie  402 .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA worki cementu
PRÓBA 5 wybranych worków
Estymacja odchylenie  403 Estymacja odchylenie  404 - dane indywidualne (można obliczyć średnią Estymacja odchylenie  405 , wariancję Estymacja odchylenie  406 , odchylenie standardowe Estymacja odchylenie  407 )

Estymacja odchylenie  408 - współczynnik ufności, Estymacja odchylenie  409

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w przedostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Oszacuj - przy współczynniku ufności 0,90 - odchylenie standardowe wagi wszystkich worków cementu.

Zwrot odchylenie standardowe oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla odchylenia standardowego Estymacja odchylenie  410 z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla odchylenia standardowego mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest Estymacja odchylenie  411 znana i jaka jest liczebność próby. Estymacja odchylenie  412 nie jest znana , a liczebność próby Estymacja odchylenie  413 jest mniejsza od 30 Estymacja odchylenie  414 , zatem wybieramy model I . W danych nie ma Estymacja odchylenie  415 ani Estymacja odchylenie  416 , więc nie ma znaczenia, którą wersję wzoru wybierzemy, bo dysponując danymi można obliczyć oba parametry. Z reguły interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

Estymacja odchylenie  417

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór Estymacja odchylenie  418 konkretnymi danymi.

Jak widać brakuje tylko Estymacja odchylenie  419 , więc dopóki nie znajdziemy wartości tego parametru nie możemy obliczyć końcówek przedziału ufności dla odchylenia standardowego. Wyliczanie wariancji z próby jest zagadnieniem ze statystki opisowej.

Dysponujemy danymi indywidualnymi (wynikami wypisanymi po przecinku), jest ich niewiele i w niewielkim stopniu powtarzają się, zatem wariancję liczymy ze wzoru związanego z danymi indywidualnymi: Estymacja odchylenie  420 lub Estymacja odchylenie  421 Estymacja odchylenie  422 (obie wersje są równoważne, w praktyce pierwsza wersja jest częściej używana). Teraz okazuje się, że w formule pozwalającej wyznaczyć wariancję potrzebna jest wartość średnia Estymacja odchylenie  423 , więc to od niej należy zacząć obliczenia.

Wzór na średnią z danych indywidualnych wygląda następująco: Estymacja odchylenie  424 Estymacja odchylenie  425 . Oczywiście na chłopski rozum średnią można policzyć sumując wszystkie dane, a potem dzieląc przez ilość – jest to jak najbardziej prawidłowe rozwiązanie, a podany wzór oznacza to samo. Jednak zdaję sobie sprawę, że widząc „hieroglify” tego typu wiele osób nie wie co robić, a tym bardziej jak je rozpisywać :). Mając to na uwadze postaram się przybliżyć kwestię podobnych oznaczeń rozpisując je na czynniki pierwsze.

Znak Estymacja odchylenie  426 to symbol sumy. Pod nim znajduje się zapis Estymacja odchylenie  427 , a nad nim Estymacja odchylenie  428 , Estymacja odchylenie  429 to wartości kolejnych obserwacji. Wszytko razem oznacza, że będziemy dodawać kolejne obserwacje oznaczone symbolem Estymacja odchylenie  430 , gdzie Estymacja odchylenie  431 będzie rosło od Estymacja odchylenie  432 aż do wartości Estymacja odchylenie  433 , a więc Estymacja odchylenie  434 :

Estymacja odchylenie  435

Tak więc średnia po rozpisaniu wygląda następująco:

Estymacja odchylenie  436 Estymacja odchylenie  437

Teraz przełożymy wszystko na dane z zadania. Liczebność próby wynosi Estymacja odchylenie  438 , a więc wzór na średnią możemy zapisać następująco:

Estymacja odchylenie  439 Estymacja odchylenie  440

Czym jest Estymacja odchylenie  441 ? Są to konkretne wyniki z próby, a więc Estymacja odchylenie  442 . Jeśli ktoś chciałby uporządkować dane indywidualne od najmniejszej do największej, może to spokojnie wykonać. Porządkowanie liczb nie wpływa na wartość średniej, także może zostać tak jak jest. A więc np. Estymacja odchylenie  443 .

Obliczamy średnią:

Estymacja odchylenie  444 Estymacja odchylenie  445

Dysponując wartością liczbową średniej możemy obliczyć wariancję Estymacja odchylenie  446 . Rozpisanie wzoru wykonujemy analogicznie jak w przypadku średniej. Na początek ogólnie:

Estymacja odchylenie  447

i dla Estymacja odchylenie  448 :

Estymacja odchylenie  449

Możemy już podstawiać liczby za Estymacja odchylenie  450 , ale proponuję utworzyć tabelkę i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru bywa dość długi i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na wariancję z danych indywidualnych, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Na początku od każdej wartości Estymacja odchylenie  451 odejmujemy średnią, a następnie wynik podnosimy do kwadratu. Sumujemy ostatnią kolumnę (przecięcie wiersza z symbolem Estymacja odchylenie  452 i Estymacja odchylenie  453 daje kompletny licznik wzoru na wariancję )

Estymacja odchylenie  454
Estymacja odchylenie  455
Estymacja odchylenie  456
Estymacja odchylenie  457
Estymacja odchylenie  458
Estymacja odchylenie  459
Estymacja odchylenie  460
Estymacja odchylenie  461
Estymacja odchylenie  462
Estymacja odchylenie  463
Estymacja odchylenie  464
Estymacja odchylenie  465
Estymacja odchylenie  466
Estymacja odchylenie  467
Estymacja odchylenie  468
Estymacja odchylenie  469
Estymacja odchylenie  470
Estymacja odchylenie  471
Estymacja odchylenie  472 (suma)
Estymacja odchylenie  473

A więc Estymacja odchylenie  474

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór Estymacja odchylenie  475 :

Estymacja odchylenie  476

Estymacja odchylenie  477

Estymacja odchylenie  478

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka Estymacja odchylenie  479 (grecka litera czyt. chi ), zatem skorzystamy z tablic rozkładu chi-kwadrat (link). W tym przypadku będziemy odczytywać statystykę dwukrotnie, ponieważ w uzupełnionym wzorze występują dwa nieco różniące się symbole: Estymacja odchylenie  480 oraz Estymacja odchylenie  481 . Zapis Estymacja odchylenie  482 oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla Estymacja odchylenie  483 i 4 stopni swobody:

Estymacja odchylenie  484

Z kolei zapis Estymacja odchylenie  485 oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla Estymacja odchylenie  486 i 4 stopni swobody:

Estymacja odchylenie  487

Wracamy do obliczeń i podstawiamy Estymacja odchylenie  488 oraz Estymacja odchylenie  489 :

Estymacja odchylenie  490

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: Estymacja odchylenie  491

Statystyka / Mieczysław Sobczy, Warszawa : PWN, 2000. - Wyd. 3., ISBN: 83-01-12996-4, str. 198