NEW
Kategoria-Matematyka Kategoria-Statystyka Kategoria-Korepetycje
Kategoria-Matematyka.Podkategoria-PrzydatneWzory Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Gimnazjum Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Liceum Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Studia Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Wzory Kategoria-Statystyka.Podkategoria-StatystykaOpisowa Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Wnioskowanie Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Testy Kategoria-Korepetycje.Podkategoria-Matematyka Kategoria-Korepetycje.Podkategoria-Statystyka
 

Wylosowano 8 sklepów spożywczych zatrudniających po 4 sprzedawców i zanotowano ich dzienny utarg w tys. zł: 2,6; 3,7; 2,2; 3,0; 2,8; 3,5; 2,1; 4,0. Zbuduj przedział ufności dla odchylenia standardowego dziennego utargu sklepów spożywczych zatrudniających 4 sprzedawców. Przyjmij współczynnik ufności 0,90.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Zbuduj przedział ufności dla odchylenia standardowego dziennego utargu sklepów spożywczych zatrudniających 4 sprzedawców.

Występuje tu zwrot: zbuduj przedział ufności - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej. Dodatkowo w kolejnym zdaniu Przyjmij współczynnik ufności 0,90. odnajdujemy słowo współczynnik ufności .

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Wylosowano 8 sklepów spożywczych zatrudniających po 4 sprzedawców i zanotowano ich dzienny utarg w tys. zł: 2,6; 3,7; 2,2; 3,0; 2,8; 3,5; 2,1; 4,0.

W tym momencie wiemy, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to Estymacja odchylenie  161 sklepów spożywczych i w związku z tym będziemy stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla populacji. Podano również informacje o konkretnych wynikach z próby. Jeżeli dysponujemy wartościami wypisanymi po przecinku tzw. danymi indywidualnymi, to zawsze możemy policzyć średnią Estymacja odchylenie  162 , wariancję Estymacja odchylenie  163 i odchylenie standardowe Estymacja odchylenie  164 (lub Estymacja odchylenie  165 , Estymacja odchylenie  166 ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

Zbuduj przedział ufności dla odchylenia standardowego dziennego utargu sklepów spożywczych zatrudniających 4 sprzedawców.

Z punktu widzenia przydatności danych do dalszych obliczeń nie odnajdujemy w tym zdaniu żadnych informacji. Ilość sprzedawców nie dotyczy bezpośrednio utargu.

Przyjmij współczynnik ufności 0,90.

Podano współczynnik ufności Estymacja odchylenie  167 . Od razu wyznaczamy Estymacja odchylenie  168 .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA sklepy spożywcze zatrudniające 4 sprzedawców
PRÓBA 8 wybranych sklepów
Estymacja odchylenie  169 Estymacja odchylenie  170 - dane indywidualne (można obliczyć średnią Estymacja odchylenie  171 , wariancję Estymacja odchylenie  172 , odchylenie standardowe Estymacja odchylenie  173 )

Estymacja odchylenie  174 - współczynnik ufności, Estymacja odchylenie  175

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w przedostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Zbuduj przedział ufności dla odchylenia standardowego dziennego utargu sklepów spożywczych zatrudniających 4 sprzedawców.

Zwrot odchylenie standardowe oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla odchylenia standardowego Estymacja odchylenie  176 z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla odchylenia standardowego mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest Estymacja odchylenie  177 znana i jaka jest liczebność próby. Estymacja odchylenie  178 nie jest znana , a liczebność próby Estymacja odchylenie  179 jest mniejsza od 30 Estymacja odchylenie  180 , zatem wybieramy model I . W danych nie ma Estymacja odchylenie  181 ani Estymacja odchylenie  182 , więc nie ma znaczenia, którą wersję wzoru wybierzemy, bo dysponując danymi można obliczyć oba parametry. Z reguły interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

Estymacja odchylenie  183

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór Estymacja odchylenie  184 konkretnymi danymi.

Jak widać brakuje tylko Estymacja odchylenie  185 , więc dopóki nie znajdziemy wartości tego parametru nie możemy obliczyć końcówek przedziału ufności dla odchylenia standardowego. Wyliczanie wariancji z próby jest zagadnieniem ze statystki opisowej.

Dysponujemy danymi indywidualnymi (wynikami wypisanymi po przecinku), jest ich niewiele i nie powtarzają się, zatem wariancję liczymy ze wzoru związanego z danymi indywidualnymi: Estymacja odchylenie  186 lub Estymacja odchylenie  187 Estymacja odchylenie  188 (obie wersje są równoważne, w praktyce pierwsza wersja jest częściej używana). Teraz okazuje się, że w formule pozwalającej wyznaczyć wariancję potrzebna jest wartość średnia Estymacja odchylenie  189 , więc to od niej należy zacząć obliczenia.

Wzór na średnią z danych indywidualnych wygląda następująco: Estymacja odchylenie  190 Estymacja odchylenie  191 . Oczywiście na chłopski rozum średnią można policzyć sumując wszystkie dane, a potem dzieląc przez ilość – jest to jak najbardziej prawidłowe rozwiązanie, a podany wzór oznacza to samo. Jednak zdaję sobie sprawę, że widząc „hieroglify” tego typu wiele osób nie wie co robić, a tym bardziej jak je rozpisywać :). Mając to na uwadze postaram się przybliżyć kwestię podobnych oznaczeń rozpisując je na czynniki pierwsze.

Znak Estymacja odchylenie  192 to symbol sumy. Pod nim znajduje się zapis Estymacja odchylenie  193 , a nad nim Estymacja odchylenie  194 , Estymacja odchylenie  195 to wartości kolejnych obserwacji. Wszytko razem oznacza, że będziemy dodawać kolejne obserwacje oznaczone symbolem Estymacja odchylenie  196 , gdzie Estymacja odchylenie  197 będzie rosło od Estymacja odchylenie  198 aż do wartości Estymacja odchylenie  199 , a więc Estymacja odchylenie  200 :

Estymacja odchylenie  201

Tak więc średnia po rozpisaniu wygląda następująco:

Estymacja odchylenie  202 Estymacja odchylenie  203

Teraz przełożymy wszystko na dane z zadania. Liczebność próby wynosi Estymacja odchylenie  204 , a więc wzór na średnią możemy zapisać następująco:

Estymacja odchylenie  205 Estymacja odchylenie  206

Czym jest Estymacja odchylenie  207 ? Są to konkretne wyniki z próby, a więc Estymacja odchylenie  208 . Jeśli ktoś chciałby uporządkować dane indywidualne od najmniejszej do największej, może to spokojnie wykonać. Porządkowanie liczb nie wpływa na wartość średniej, także może zostać tak jak jest. A więc np. Estymacja odchylenie  209 .

Obliczamy średnią:

Estymacja odchylenie  210 Estymacja odchylenie  211

Dysponując wartością liczbową średniej możemy obliczyć wariancję Estymacja odchylenie  212 . Rozpisanie wzoru wykonujemy analogicznie jak w przypadku średniej. Na początek ogólnie:

Estymacja odchylenie  213

i dla Estymacja odchylenie  214 :

Estymacja odchylenie  215

Możemy już podstawiać liczby za Estymacja odchylenie  216 , ale proponuję utworzyć tabelkę i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru jest dość długi i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na wariancję z danych indywidualnych, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Na początku od każdej wartości Estymacja odchylenie  217 odejmujemy średnią, a następnie wynik podnosimy do kwadratu. Sumujemy ostatnią kolumnę (przecięcie wiersza z symbolem Estymacja odchylenie  218 i Estymacja odchylenie  219 daje kompletny licznik wzoru na wariancję )

Estymacja odchylenie  220
Estymacja odchylenie  221
Estymacja odchylenie  222
Estymacja odchylenie  223
Estymacja odchylenie  224
Estymacja odchylenie  225
Estymacja odchylenie  226
Estymacja odchylenie  227
Estymacja odchylenie  228
Estymacja odchylenie  229
Estymacja odchylenie  230
Estymacja odchylenie  231
Estymacja odchylenie  232
Estymacja odchylenie  233
Estymacja odchylenie  234
Estymacja odchylenie  235
Estymacja odchylenie  236
Estymacja odchylenie  237
Estymacja odchylenie  238
Estymacja odchylenie  239
Estymacja odchylenie  240
Estymacja odchylenie  241
Estymacja odchylenie  242
Estymacja odchylenie  243
Estymacja odchylenie  244
Estymacja odchylenie  245
Estymacja odchylenie  246
Estymacja odchylenie  247 (suma)
Estymacja odchylenie  248

A więc Estymacja odchylenie  249

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór Estymacja odchylenie  250 :

Estymacja odchylenie  251

Estymacja odchylenie  252

Estymacja odchylenie  253

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka Estymacja odchylenie  254 (grecka litera czyt. chi ), zatem skorzystamy z tablic rozkładu chi-kwadrat (link). W tym przypadku będziemy odczytywać statystykę dwukrotnie, ponieważ w uzupełnionym wzorze występują dwa nieco różniące się symbole: Estymacja odchylenie  255 oraz Estymacja odchylenie  256 . Zapis Estymacja odchylenie  257 oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla Estymacja odchylenie  258 i 7 stopni swobody:

Estymacja odchylenie  259

Z kolei zapis Estymacja odchylenie  260 oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla Estymacja odchylenie  261 i 7 stopni swobody:

Estymacja odchylenie  262

Wracamy do obliczeń i podstawiamy Estymacja odchylenie  263 oraz Estymacja odchylenie  264 :

Estymacja odchylenie  265

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: Estymacja odchylenie  266

E. Sojka - Statystyka w przykładach i zadaniach, Wydawnictwo: Wyższa Szkoła Zarządzania i Nauk Społecznych Tychy 2003,ISBN 83-89055-09-0, str. 170