NEW
Kategoria-Matematyka Kategoria-Statystyka Kategoria-Korepetycje
Kategoria-Matematyka.Podkategoria-PrzydatneWzory Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Gimnazjum Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Liceum Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Studia Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Wzory Kategoria-Statystyka.Podkategoria-StatystykaOpisowa Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Wnioskowanie Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Testy Kategoria-Korepetycje.Podkategoria-Matematyka Kategoria-Korepetycje.Podkategoria-Statystyka
 

Sporządzono zestawienie wyników finansowych pewnego kiosku w ciągu wybranych losowo 25 dni roboczych:

Zmienna
n ważnych
Średnia
Odchylenie standardowe
Obroty (w zł)
25
139
12

Z prawdopodobieństwem 90% należy oszacować odchylenie standardowe obrotów kiosku. Czy jest możliwa względna precyzja szacunku?

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Z prawdopodobieństwem 90% należy oszacować odchylenie standardowe obrotów firmy.

Co prawda nie użyto bezpośrednio zwrotu przedział ufności, ale musimy oszacować odchylenie standardowe obrotów kiosku, więc wypadałoby podać przedział ufności, bo tzw. estymacja punktowa (tzn. konkretna liczba, a nie przedział) daje wynik o prawdopodobieństwie praktycznie równym zero. Dodatkowo występuje tu słowo: prawdopodobieństwo czyli współczynnik ufności i w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

Dopiero po wybraniu wzoru na przedział ufności zajmiemy się kwestią względnej precyzji szacunku.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Sporządzono zestawienie wyników finansowych pewnego kiosku w ciągu wybranych losowo 25 dni roboczych:

Zmienna
n ważnych
Średnia
Odchylenie standardowe
Obroty (w zł)
25
139
12

Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości dni spośród wszystkich dni roboczych. Oznaczamy więc liczebność próby Estymacja odchylenie  119 . Dodatkowo w tabeli podano podstawowe parametry dla próby: średnią Estymacja odchylenie  120 i odchylenie standardowe Estymacja odchylenie  121 (oczywiście użyto oznaczeń dla próby).

Z prawdopodobieństwem 90% należy oszacować odchylenie standardowe obrotów firmy.

Podano współczynnik ufności w procentach Estymacja odchylenie  122 . Od razu wyznaczamy Estymacja odchylenie  123 .

Czy jest możliwa względna precyzja szacunku?

W tym zdaniu nie ma danych liczbowych, więc je pomijamy.

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA dni robocze
PRÓBA 25 wybranych dni
Estymacja odchylenie  124

Estymacja odchylenie  125 - współczynnik ufności, Estymacja odchylenie  126

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w przedostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Z prawdopodobieństwem 90% należy oszacować odchylenie standardowe obrotów firmy.

Zwrot odchylenie standardowe oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla odchylenia standardowego Estymacja odchylenie  127 z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla odchylenia standardowego mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest Estymacja odchylenie  128 znana i jaka jest liczebność próby. Estymacja odchylenie  129 nie jest znana , a liczebność próby Estymacja odchylenie  130 jest mniejsza od 30 Estymacja odchylenie  131 , zatem wybieramy model I . W danych występuje Estymacja odchylenie  132 , także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

Estymacja odchylenie  133

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór Estymacja odchylenie  134 konkretnymi danymi.

Estymacja odchylenie  135

Estymacja odchylenie  136

Estymacja odchylenie  137

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka Estymacja odchylenie  138 (grecka litera czyt. chi ), zatem skorzystamy z tablic rozkładu chi-kwadrat (link). W tym przypadku będziemy odczytywać statystykę dwukrotnie, ponieważ w uzupełnionym wzorze występują dwa nieco różniące się symbole: Estymacja odchylenie  139 oraz Estymacja odchylenie  140 . Zapis Estymacja odchylenie  141 oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla Estymacja odchylenie  142 i 24 stopni swobody:

Estymacja odchylenie  143

Z kolei zapis Estymacja odchylenie  144 oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla Estymacja odchylenie  145 i 24 stopni swobody:

Estymacja odchylenie  146

Wracamy do obliczeń i podstawiamy Estymacja odchylenie  147 oraz Estymacja odchylenie  148 :

Estymacja odchylenie  149

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: Estymacja odchylenie  150

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,90 nieznane odchylenie standardowe obrotów kiosku mieści się w przedziale od 9,94 do 16,12 zł.

Określenie względnej precyzji szacunku nie jest możliwe, ponieważ przedział ufności dla parametru Estymacja odchylenie  151 opisany wzorem Estymacja odchylenie  152 nie jest zlokalizowany centralnie względem parametru Estymacja odchylenie  153 . Dla wyjaśnienia różnicy: przykładowo w estymacji średniej Estymacja odchylenie  154 niezależnie od wybranego wzoru mamy sytuację Estymacja odchylenie  155 , gdzie od wartości Estymacja odchylenie  156 dodajemy i odejmujemy tą samą wartość Estymacja odchylenie  157 , i dlatego tu Estymacja odchylenie  158 jest zlokalizowany centralnie, a więc względna precyzja szacunku jest możliwa. W formule Estymacja odchylenie  159 parametr Estymacja odchylenie  160 jest wpleciony pod pierwiastek i nie widać, aby odjęto albo dodano tę samą wartość.