Na podstawie 64 losowo wybranych wyrobów z bieżącej produkcji otrzymano średnią liczbę usterek równą 3 oraz współczynnik zmienności 57%. Oszacować odchylenie standardowe liczby usterek, przyjmując poziom ufności , założyć rozkład normalny.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Oszacować odchylenie standardowe liczby usterek, przyjmując poziom ufności , założyć rozkład normalny.

Co prawda nie użyto bezpośrednio zwrotu przedział ufności, ale musimy oszacować odchylenie standardowe liczby usterek, więc wypadałoby podać przedział ufności, bo tzw. estymacja punktowa (tzn. konkretna liczba, a nie przedział) daje wynik o prawdopodobieństwie praktycznie równym zero. Dodatkowo występuje tu wyrażenie: poziom ufności i w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Na podstawie 64 losowo wybranych wyrobów z bieżącej produkcji otrzymano średnią liczbę usterek równą 3 oraz współczynnik zmienności 57%.

Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości sztuk spośród wszystkich wyrobów. Oznaczamy więc liczebność próby . Dodatkowo podano podstawowe parametry dla próby na podstawie przeprowadzonych pomiarów: średnią oraz współczynnik zmienności (oczywiście używamy oznaczeń dla próby). Odszyfrujmy współczynnik zmienności - jest to zagadnienie ze statystyki opisowej opisane wzorem . Mając podany współczynnik zmienności i średnią od razu można wyznaczyć odchylenie standardowe , które z reguły i tak bywa potrzebne do dalszych obliczeń.

(każda liczba podzielona przez 1 nie ulega zmianie)

Wymnażamy na krzyż:

Oszacować odchylenie standardowe liczby usterek, przyjmując poziom ufności , założyć rozkład normalny.

Podano współczynnik ufności . Od razu wyznaczamy . W tym zdaniu występuje również założenie normalności rozkładu liczby usterek i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać - rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA wyroby z bieżącej produkcji	PRÓBA 64 wybrane wyroby
- rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Oszacować odchylenie standardowe liczby usterek, przyjmując poziom ufności , założyć rozkład normalny.

Wyrażenie odchylenie standardowe oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla odchylenia standardowego z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla odchylenia standardowego mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana , a liczebność próby jest większa od 30 , zatem wybieramy model II .

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u , zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego (link). Zapis oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy i czyli .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego):

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,95 nieznane odchylenie standardowe liczby usterek ogółu wyrobów z bieżącej produkcji mieści się w przedziale od 1,46 do 2,07.

Statystyka elementy teorii i zadania / Stanisława Ostasiewicz, Zofia Rusnak, Urszula Siedlecka, Wrocław : Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego, 2006. - Wyd. 6 popr., ISBN: 83-7011-783-X, str. 279