NEW
Kategoria-Matematyka Kategoria-Statystyka Kategoria-Korepetycje
Kategoria-Matematyka.Podkategoria-PrzydatneWzory Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Gimnazjum Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Liceum Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Studia Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Wzory Kategoria-Statystyka.Podkategoria-StatystykaOpisowa Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Wnioskowanie Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Testy Kategoria-Korepetycje.Podkategoria-Matematyka Kategoria-Korepetycje.Podkategoria-Statystyka
 

ISBN 83-227-1608-7 str. 205

W pewnym zakładzie zatrudniającym 5000 pracowników, 40% z nich jest zadłużonych w Spółdzielczej Kasie Oszczędnościowo-Kredytowej (SKOK). Spośród pracowników zadłużonych pobrano w sposób losowy niezależną próbę 7,5% osób, dla których odchylenie standardowe spłacanych rat miesięcznych wyniosło 80 zł. Zakładając, że rozkład wysokości spłacanych rat jest normalny, oszacować - z prawdopodobieństwem 0,95 - przedział ufności Neymana pokrywający odchylenie standardowe u wszystkich zadłużonych pracowników.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Zakładając, że rozkład wysokości spłacanych rat jest normalny, oszacować - z prawdopodobieństwem 0,95 - przedział ufności Neymana pokrywający odchylenie standardowe u wszystkich zadłużonych pracowników.

Występują tu zwroty: oszacować przedział ufności Neymana i prawdopodobieństwo czyli współczynnik ufności - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

W pewnym zakładzie zatrudniającym 5000 pracowników, 40% z nich jest zadłużonych w Spółdzielczej Kasie Oszczędnościowo-Kredytowej (SKOK).

Na początku dowiadujemy się, że populacja liczy Estymacja odchylenie  32 pracowników. 40% z nich jest zadłużonych w SKOKach, a więc ilościowo Estymacja odchylenie  33 . Jeszcze nic nie wspomniano na temat próby.

Spośród pracowników zadłużonych pobrano w sposób losowy niezależną próbę 7,5% osób, dla których odchylenie standardowe spłacanych rat miesięcznych wyniosło 80 zł.

Dopiero teraz zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości osób spośród zadłużonych pracowników. Stanowią oni 7,5% osób dłużników SKOKów. Obliczamy więc liczebność próby Estymacja odchylenie  34 . Jeszcze raz dla rozjaśnienia sytuacja przedstawia się następująco:

Estymacja odchylenie  35

Dodatkowo podano jeden z podstawowych parametrów dla próby tzn. odchylenie standardowe Estymacja odchylenie  36 (oczywiście używamy oznaczenia dla próby).

Zakładając, że rozkład wysokości spłacanych rat jest normalny, oszacować - z prawdopodobieństwem 0,95 - przedział ufności Neymana pokrywający odchylenie standardowe u wszystkich zadłużonych pracowników.

W tym zdaniu występuje założenie normalności rozkładu wysokości spłacanych rat i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać Estymacja odchylenie  37 - rozkład normalny o nieznanej średniej Estymacja odchylenie  38 i nieznanym odchyleniu standardowym Estymacja odchylenie  39 . Podano również współczynnik ufności Estymacja odchylenie  40 . Od razu wyznaczamy Estymacja odchylenie  41 .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA 5000 pracowników zakładu
PRÓBA 150 wybranych pracowników
Estymacja odchylenie  42 Estymacja odchylenie  43 - rozkład normalny o nieznanej średniej Estymacja odchylenie  44 i nieznanym odchyleniu standardowym Estymacja odchylenie  45
Estymacja odchylenie  46

Estymacja odchylenie  47 - współczynnik ufności, Estymacja odchylenie  48

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Zakładając, że rozkład wysokości spłacanych rat jest normalny, oszacować - z prawdopodobieństwem 0,95 - przedział ufności Neymana pokrywający odchylenie standardowe u wszystkich zadłużonych pracowników.

Wyrażenie odchylenie standardowe oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla odchylenia standardowego Estymacja odchylenie  49 z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla odchylenia standardowego mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest Estymacja odchylenie  50 znana i jaka jest liczebność próby. Estymacja odchylenie  51 nie jest znana , a liczebność próby Estymacja odchylenie  52 jest większa od 30 Estymacja odchylenie  53 , zatem wybieramy model II .

Estymacja odchylenie  54

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór Estymacja odchylenie  55 konkretnymi danymi.

Estymacja odchylenie  56

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u , zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego (link). Zapis Estymacja odchylenie  57 oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla Estymacja odchylenie  58 . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku Estymacja odchylenie  59 sumujemy Estymacja odchylenie  60 i Estymacja odchylenie  61 czyli Estymacja odchylenie  62 .

Estymacja odchylenie  63

Wracamy do obliczeń i podstawiamy Estymacja odchylenie  64 (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego):

Estymacja odchylenie  65

Estymacja odchylenie  66

Estymacja odchylenie  67

Estymacja odchylenie  68

Estymacja odchylenie  69

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: Estymacja odchylenie  70

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,95 nieznane odchylenie standardowe wszystkich zadłużonych pracowników mieści się w przedziale od 71,88 do 90,19 zł.

Statystyka: podstawy teoretyczne, przykłady, zadania / Mieczysław Sobczyk. - Wyd.1 - Lublin : Wydaw.Uniw.M.Curie-Skłodowskiej, 2000 - 425 s. ; 25 cm. - ISBN 83-227-1608-7, str. 205