![]() |
||
NEW![]() | ||
![]() |
||
![]() |
||
Na wstępie uprzedzam, aby w miarę dobrze opanować liczenie całek, zwłaszcza przy użyciu metody przez podstawienie i przez części, trzeba mieć jakiekolwiek pojęcie o wyznaczaniu pochodnych !!! Wyznaczanie całki nieoznaczonej dla funkcji Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji Jeżeli Całkowanie to działanie odwrotne w stosunku do różniczkowania czyli wyznaczania pochodnej funkcji (analogicznie jak dodawanie i odejmowanie, potęgowanie i pierwiastkowanie). Inaczej mówiąc jeżeli z już wyliczonej całki policzymy pochodną to mamy otrzymać funkcję, z której liczyliśmy całkę – można tak robić w ramach sprawdzenia wyniku. Całkowanie jako działanie odwrotne do różniczkowania nie jest działaniem jednoznacznym, ponieważ funkcja pierwotna nie jest jednoznacznie wyznaczona, bo występuje w niej stała Jeżeli funkcja jest całkowalna na pewnym przedziale, gdzie Oznacza to, że stały czynnik występujący w funkcji podcałkowej można wyłączyć przed znak całki. Mówiąc jeszcze prościej, jeżeli w funkcji podcałkowej nie ma zmiennej CAŁKA 1 CAŁKA 2 CAŁKA 3 CAŁKA 4 CAŁKA 5 CAŁKA 6 CAŁKA 7 CAŁKA 8 CAŁKA 9 CAŁKA 10 Jeżeli symbol CAŁKA 11 CAŁKA 12 CAŁKA 13 CAŁKA 14 CAŁKA 15 Jeszcze raz dla przypomnienia, każda litera lub inny symbol poza zmienną całkowania, która jest wskazywana przez CAŁKA 16 CAŁKA 17 CAŁKA 18 CAŁKA 19 Teraz zajmiemy się podstawowym wzorem na całki: Przykłady: CAŁKA 20 CAŁKA 21 CAŁKA 22 CAŁKA 23 CAŁKA 24 Można też w podany sposób obliczać całki, w których w pojawia się kreska ułamkowa, ale w mianowniku nie ma dodawania ani odejmowania. Korzystamy ze wzoru na potęgi: CAŁKA 25 CAŁKA 26 Korzystając z powyższego wzoru można też obliczać całki gdzie pojawiają się pierwiastki. Musimy tylko pamiętać o wzorach: Warto też pamiętać, że CAŁKA 27 CAŁKA 28 CAŁKA 29 Korzystając z obydwu wzorów CAŁKA 30 CAŁKA 31 Oczywiście można zostawiać wynik w postaci potęgowej już w momencie kiedy pojawia się po raz pierwszy stała całkowania Kolejny wzór to CAŁKA 32 CAŁKA 33 CAŁKA 34 CAŁKA 35 CAŁKA 36 CAŁKA 37 Jeżeli stała jest w mianowniku to nigdy „nie przeskoczy” do licznika tak jak w poniższych przykładach, zwracam na to uwagę, gdyż jest to jeden z najczęściej popełnianych błędów. CAŁKA 38 Jak widać CAŁKA 39 Podobnie jest z Kolejny przydatny wzór: Dzięki tej własności rozbudowane całki można rozbijać na mniejsze całki, ale tylko wtedy kiedy poszczególne elementy funkcji podcałkowej są oddzielone od siebie znakiem Przykłady: CAŁKA 40 CAŁKA 41 CAŁKA 42 CAŁKA 43 CAŁKA 44 CAŁKA 45 CAŁKA 46 CAŁKA 47 CAŁKA 48 Można do każdej oddzielnie obliczonej całki dodawać stałą Jeżeli ktoś spokojnie radzi sobie z liczeniem podstawowych całek nie musi pisać w rozwiązaniu wszystkich przejść, w prostszych całkach można od razu podawać wynik :). Najważniejsze wzory i właściwości prostych całek nieoznaczonych zostały omówione. Poniżej przykłady ciekawszych całek wykorzystujących jedynie podstawowe wzory oraz umiejętności matematyczne. W poniższych całkach wystarczy pozbyć się nawiasów wymnażając kolejne składniki: CAŁKA 50 CAŁKA 51 Korzystamy ze wzoru CAŁKA 52 CAŁKA 53 W tej całce najwygodniejsza okazała się zamiana pierwiastków na potęgi zanim pozbyliśmy się nawiasów. Najpierw wzór CAŁKA 54 albo korzystając ze wzorów skróconego mnożenia: CAŁKA 55 CAŁKA 56 CAŁKA 57 Jeżeli podnosimy pierwiastek do potęgi identycznej jak stopień tego pierwiastka to pierwiastek ulega redukcji, czyli „skasowaniu”. CAŁKA 58 CAŁKA 59 Pamiętamy przy podnoszeniu do potęgi, że Teraz zajmijmy się całkami składającymi się wyłącznie z liczb, potęg i pierwiastków CAŁKA 60 Korzystamy ze wzorów CAŁKA 61 Najpierw wymnażamy nawiasy w liczniku, ponieważ pomiędzy nimi jest znak iloczynu, a jak pamiętamy całki iloczynu lub ilorazu dwóch funkcji nie można rozdzielić na iloczyn całek funkcji. CAŁKA 62 CAŁKA 63 CAŁKA 64 Najpierw pozbywamy się nawiasu w liczniku ułamka stosując wzór skróconego mnożenia Korzystaliśmy z własności potęg CAŁKA 65 W mianowniku nadal nie występuje dodawanie ani odejmowanie, zatem można spokojnie rozdzielić ułamek na prostsze ułamki. Na początku dla wygody najlepiej zamienić pierwiastki na potęgi i tym samym uprościć poszczególne składniki. CAŁKA 66 Tu postępujemy jak w poprzednim przykładzie – w mianowniku nie ma odejmowania ani dodawania. Na początku pozbywamy się nawiasu w liczniku wykorzystując wzór skróconego mnożenia: Teraz zajmijmy się całkami podobnymi do powyższych, ale w mianowniku będzie występować dodawanie lub odejmowanie np. CAŁKA 67 Spójrzmy na licznik całki. Mamy tu wzór skróconego mnożenia CAŁKA 68 W liczniku znów jest wzór skróconego mnożenia W mianowniku całki zmieniono jedynie kolejność składników i wyciągnięto minus przed nawias po to, aby bezproblemowo skrócić mianownik z licznikiem. CAŁKA 69 Na pierwszy rzut oka wydaje się, że w przykładzie nie ma żadnego wzoru skróconego mnożenia, jednak warto przyjrzeć się całości. W liczniku występuje wzór skróconego mnożenia CAŁKA 70 W liczniku znów występuje wzór skróconego mnożenia CAŁKA 71 W liczniku występuje wzór skróconego mnożenia Rozpoznawanie wzorów skróconego mnożenia znajdziesz tutaj. CAŁKA 72 W tym przykładzie w liczniku ponownie mamy do czynienia ze wzorem skróconego mnożenia. Tym razem ma on postać CAŁKA 73 W liczniku ponownie mamy do czynienia ze wzorem skróconego mnożenia postaci CAŁKA 74 Tu również w liczniku występuje wzór skróconego mnożenia Jeszcze raz przypominam, że pierwiastek znika przy podnoszeniu składnika to potęgi równej stopniowi pierwiastka: CAŁKA 75 W tej całce nie widać ani wzorów skróconego mnożenia ani innych charakterystycznych cech dzięki czemu można ją uprościć. W mianowniku jest odejmowanie, więc nie ma sensu rozkładać jej na prostsze ułamki. Zapiszmy pierwiastki w postaci potęg i maksymalnie je uprośćmy: Teraz znów przyjrzymy się licznikowi, gdyby nie Co ciekawe można pójść dalej Rozłożenie wyrażenia wygląda następująco: Wracamy do całki: W kolejnych kilku całkach będziemy rozkładać licznik na czynniki obliczając deltę CAŁKA 76 W liczniku nie ma wzoru skróconego mnożenia (sprawdzisz tutaj rozpoznawanie wzorów skróconego mnożenia). Największą potęgą jest Postać iloczynowa przy Wracamy do całki: CAŁKA 77 W liczniku nie ma wzoru skróconego mnożenia (sprawdzisz tutaj rozpoznawanie wzorów skróconego mnożenia). Największą potęgą jest Postać iloczynowa przy Wracamy do całki: CAŁKA 78 W liczniku nie ma wzoru skróconego mnożenia (sprawdzisz tutaj rozpoznawanie wzorów skróconego mnożenia). Największą potęgą jest Zamieniamy postać ogólną Postać iloczynowa przy Ostatecznie Wracamy do całki: CAŁKA 79 Korzystamy z następującej sztuczki: Jeżeli do dowolnego wyrażenia dodam konkretną liczbę i następnie ją odejmę to wartość wyrażenia nie ulegnie zmianie. Aby nie było wątpliwości Na końcu zastosowano podstawowy wzór: CAŁKA 80 Całka o dość specyficznym charakterze, ponieważ pojawia się w niej pierwiastek nad całym wyrażeniem W mianowniku pojawił się identyczny wielomian jak w liczniku. Warto pamiętać, że każdy znak, wielomian można zapisać w postaci Na końcu zastosowano podstawowy wzór: Teraz kilka przykładów ciekawszych całek, w których pojawia się funkcja wykładnicza postaci CAŁKA 81 Warto pamiętać, że następnie Także ze wzoru Na koniec ze skorzystaliśmy ze wzoru CAŁKA 82 W powyższym przykładzie wystarczyło skorzystać z własności potęg CAŁKA 83 Korzystamy z własności logarytmów Również Tak więc CAŁKA 84 Należy pamiętać, że CAŁKA 85 Całka wydaje się prosta i już chciałoby się od razu skorzystać ze wzoru Na początku rozdzielmy elementy wykładnika zgodnie ze wzorem Kolejne przekształcenie to „nałożenie” danej potęgi Korzystamy z podstawowego wzoru na całki Właściwie już otrzymaliśmy wynik, można jeszcze przekształcić go do prostszej postaci korzystając ze wzoru Również Tak więc Tą całkę można też obliczyć stosując metodę podstawiania. CAŁKA 86 Tą całkę można też obliczyć stosując metodę podstawiania. CAŁKA 87 W mianowniku całki występuje tylko jeden element, zatem bezproblemowo można rozdzielić funkcję podcałkową na dwa oddzielne ułamki i tym samym na dwie całki: Teraz należy doprowadzić obie funkcje podcałkowe do postaci Wracamy do całki: Wynik jest już prawidłowy, ale można jeszcze go przekształcić. Na początku zapiszmy o ile to możliwe wszystkie liczby jako potęgi Teraz skorzystamy z własności potęg i logarytmów i sprowadzimy oba ułamki do wspólnego mianownika CAŁKA 88 W mianowniku znów występuje tylko jeden składnik (nie ma dodawania ani odejmowania kilku elementów w mianowniku)– można zatem rozdzielić funkcję podcałkową na dwa ułamki: Korzystając z własności potęg CAŁKA 89 Na początku rozdzielamy funkcję podcałkową na dwa ułamki (możemy tak uczynić i ma to sens, ponieważ w mianowniku nie ma dodawania ani odejmowania) i wyciągamy stałą przed znak całki: Korzystając z własności potęg CAŁKA 90 W tym przykładzie należy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia Całka jest już obliczona, ale można ją zapisać w nieco innej postaci. Na początku zapiszmy o ile to możliwe wszystkie liczby jako potęgi Skorzystajmy z własności potęg i logarytmów: CAŁKA 91 W danej całce rozdzielanie funkcji podcałkowej na dwa ułamki nie ma większego sensu, ponieważ w mianowniku występuje znak dodawania pomiędzy składnikami. Spójrzmy na licznik – jest tu ukryty wzór skróconego mnożenia CAŁKA 92 W tej całce znów mamy identyczną sytuację jak w poprzednim przykładzie. W liczniku występuje wzór skróconego mnożenia W przykładzie skorzystaliśmy z własności potęg Znów zapiszmy CAŁKA 93 W mianowniku pomiędzy składnikami znów występuje plus, więc nie ma sensu rozkładać funkcji podcałkowej na mniejsze ułamki. W liczniku znów występuje wzór skróconego mnożenia w postaci Teraz kilka całek, w których występują funkcje trygonometryczne i można je rozwiązać wykorzystując jedynie podstawowe wzory. CAŁKA 94 Pamiętamy, że: Korzystamy z „jedynki” trygonometrycznej odpowiednio dokonując przekształceń w liczniku i rozdzielamy funkcję podcałkową na dwa ułamki. Na końcu korzystamy ze wzoru na całkę: CAŁKA 95 Na początku wykorzystujemy wzór: Korzystamy z „jedynki” trygonometrycznej odpowiednio dokonując przekształceń w liczniku i rozdzielamy funkcję podcałkową na dwa ułamki. Na końcu korzystamy ze wzoru na całkę: CAŁKA 96 Zaczynamy od rozpisania funkcji podcałkowej ze wzoru skróconego mnożenia Skorzystamy teraz z własności funkcji trygonometrycznych. Dla każdego kąta zachodzi Całka CAŁKA 97 W tej całce korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta CAŁKA 98 Należy skorzystać ze wzoru na cosinus podwójnego kąta CAŁKA 99 Tu również na początku skorzystam ze wzoru na cosinus podwojonego kąta Rozdzielanie funkcji podcałkowej na dwa ułamki nie ma sensu, ponieważ w mianowniku występuje dodawanie, ale warto przyjrzeć się licznikowi, mamy tu wzór skróconego mnożenia w postaci Dla przypomnienia |
||