Założenie: (żaden z mianowników nie może być równy 0). Po przekształceniu założenia otrzymujemy .

W tym przykładzie obie strony równości są podobnej długości, nie występuje tu ani tangens ani cotangens, nie widać też śladów przekształconej jedynki trygonometrycznej , , ponieważ nie występuje ani sinus ani cosinus do kwadratu, co prawda można skorzystać i rozłożyć , ale to i tak nic nie da. Podobnie nic nie uzyskamy rozkładając lewą stronę na dwa mniejsze ułamki . W tym przypadku trzeba wykonać pewien trik. Przedstawię tu dwa sposoby:

I sposób (nieco łatwiejszy)

Będziemy przekształcać prawą stronę i zaczniemy od wymnożenia mianownika przez to samo wyrażenie, które się w nim znajduje, ale z przeciwnym znakiem czyli . Oczywiście jeżeli wymnaża się mianownik, to obowiązkowo trzeba to samo zrobić z licznikiem aby wartość wyrażenia nie uległa zmianie.

Po wymnożeniu mianownika okaże się, że otrzymujemy przekształcenie jedynki trygonometrycznej, co znacznie ułatwi sprawę. Nawiasy w mianowniku różnią się znakiem pośrodku, także skorzystam ze wzoru skróconego mnożenia (wynik będzie identyczny jeśli zdecydujemy się na „zwyczajne” wymnożenie nawiasów, ale jest to sposób bardziej pracochłonny):

Jak widać w liczniku nie pozbywaliśmy się nawiasów. Był to specjalny zabieg w celu skrócenia cosinusa z licznika z cosinusem z mianownika. Jeżeli zbyt wcześnie pozbylibyśmy się nawiasów w liczniku nie zauważylibyśmy możliwości późniejszego skracania.

II sposób

Tym razem będziemy przekształcać lewą stronę i zaczniemy od wymnożenia mianownika przez cosinus w celu otrzymania cosinusa do kwadratu, a co za tym idzie da to nam możliwość skorzystania z przekształconej jedynki trygonometrycznej, bo . Oczywiście jeżeli wymnaża się mianownik, to obowiązkowo trzeba to samo zrobić z licznikiem aby wartość wyrażenia nie uległa zmianie, także licznik również zostanie wymnożony przez cosinus.

Kolejny etap stanowi rozłożenie mianownika ze wzoru skróconego mnożenia , ponieważ wyrażenie z mianownika można rozpisać i wyłowić oraz :

Dodawanie jest zamknięte w nawiasach, zatem można skrócić identyczne nawiasy z licznika i mianownika:

Jak widać licznik nie był celowo wymnażany w celu skrócenia go z identycznym nawiasem z mianownika.

Założenie: (żaden z mianowników nie może być równy ). Po przekształceniu założenia otrzymujemy .

W tym przykładzie obie strony równości są podobnej długości, nie występuje tu ani tangens ani cotangens, nie widać też śladów przekształconej jedynki trygonometrycznej , , ponieważ nie występuje ani sinus ani cosinus do kwadratu, co prawda można skorzystać i rozłożyć , ale to i tak nic nie da. Podobnie nic nie uzyskamy rozkładając lewą stronę na dwa mniejsze ułamki . W tym przypadku trzeba wykonać pewien trik. Przedstawię tu dwa sposoby:

I sposób (nieco łatwiejszy)

Będziemy przekształcać prawą stronę i zaczniemy od wymnożenia mianownika przez to samo wyrażenie, które się w nim znajduje, ale z przeciwnym znakiem czyli . Oczywiście jeżeli wymnaża się mianownik, to obowiązkowo trzeba to samo zrobić z licznikiem aby wartość wyrażenia nie uległa zmianie.

Po wymnożeniu mianownika okaże się, że otrzymujemy przekształcenie jedynki trygonometrycznej, co znacznie ułatwi sprawę. Nawiasy w mianowniku różnią się znakiem pośrodku, także skorzystam ze wzoru skróconego mnożenia (wynik będzie identyczny jeśli zdecydujemy się na „zwyczajne” wymnożenie nawiasów, ale jest to sposób bardziej pracochłonny):

Jak widać w liczniku nie pozbywaliśmy się nawiasów. Był to specjalny zabieg w celu skrócenia sinusa z licznika z sinusem z mianownika. Jeżeli zbyt wcześnie pozbylibyśmy się nawiasów w liczniku nie zauważylibyśmy możliwości późniejszego skracania.

II sposób

Tym razem będziemy przekształcać lewą stronę i zaczniemy od wymnożenia mianownika przez sinus w celu otrzymania sinusa do kwadratu, a co za tym idzie da to nam możliwość skorzystania z przekształconej jedynki trygonometrycznej, bo . Oczywiście jeżeli wymnaża się mianownik, to obowiązkowo trzeba to samo zrobić z licznikiem aby wartość wyrażenia nie uległa zmianie, także licznik również zostanie wymnożony przez sinus.

Kolejny etap stanowi rozłożenie mianownika ze wzoru skróconego mnożenia , ponieważ wyrażenie z mianownika można rozpisać i wyłowić oraz :

Dodawanie jest zamknięte w nawiasach, zatem można skrócić identyczne nawiasy z licznika i mianownika:

Jak widać licznik nie był celowo wymnażany w celu skrócenia go z identycznym nawiasem z mianownika.

Założenie:

(żaden z mianowników nie może być równy ). Sinus i cosinus podniesiony do kwadratu nie może być równy 0, to także sam sinus i cosinus nie może być równy 0, bo zero do kwadratu to nadal zero. Także założenie można zapisać krócej .

Lewa strona równości jest dłuższa zatem to ją będziemy przekształcać. Występują tu nawiasy, dlatego na początku pozbędziemy się ich wymnażając poszczególne składniki:

Następnym krokiem będzie zamiana tangensa i cotangensa zgodnie ze wzorami oraz , bo po prawej stronie tożsamości występują tylko sinusy i cosinusy:

Założenie:

(żaden z mianowników nie może być równy ). Sinus i cosinus podniesiony do kwadratu nie może być równy 0, to także sam sinus i cosinus nie może być równy 0, bo zero do kwadratu to nadal zero. Także założenie można zapisać krócej .

Lewa strona równości jest dłuższa zatem to ją będziemy przekształcać. Występują tu nawiasy, dlatego na początku pozbędziemy się ich wymnażając poszczególne składniki.

Następnym krokiem będzie zamiana tangensa i cotangensa zgodnie ze wzorami oraz , bo po prawej stronie tożsamości występują tylko sinusy i cosinusy: