Założenie: (żaden z mianowników nie może być równy )

Założenie po przekształceniu:

Lewa strona równości jest dłuższa, zatem to ją będziemy przekształcać. Po prawej stronie jest jedna kreska ułamkowa, po lewej występują dwie kreski ułamkowe, także aby stworzyć jedną kreskę ułamkową należy sprowadzić wyrażenie znajdujące się po lewej stronie do wspólnego mianownika.

Pozbywamy się nawiasów w licznikach obu ułamków wymnażając kolejno składniki. Czekamy z wymnażaniem mianowników, ponieważ często zdarza się, że przy „zbyt wczesnym” wymnożeniu nie zauważymy możliwości skracania z licznikiem. Uproszczenie mianownika można przecież zawsze wykonać później:

Jak widać nie ma możliwości skracania, także pozbędziemy się nawiasów w mianowniku. Zawartość nawisów jest identyczna, różnią się one tylko jednym znakiem. Także można zastosować tu wzór skróconego mnożenia . Można też pozbyć się nawiasów kolejno wymnażając składniki – i tak otrzymamy identyczny wynik, ale stosując wzór skróconego mnożenia działanie wykonujemy szybciej:

Założenie: (żaden z mianowników nie może być równy )

Założenie po przekształceniu: .

Lewa strona równości jest dłuższa, zatem to ją będziemy przekształcać. Po prawej stronie jest jedna kreska ułamkowa, po lewej występują dwie kreski ułamkowe, także aby stworzyć jedną kreskę ułamkową należy sprowadzić wyrażenie znajdujące się po lewej stronie do wspólnego mianownika.

Pozbywamy się nawiasów w licznikach obu ułamków wymnażając kolejno składniki. Czekamy z wymnażaniem mianowników, ponieważ często zdarza się, że przy „zbyt wczesnym” wymnożeniu nie zauważymy możliwości skracania z licznikiem. Uproszczenie mianownika można przecież zawsze wykonać później:

Jak widać nie ma możliwości skracania, także pozbędziemy się nawiasów w mianowniku. Zawartość nawisów jest identyczna, różnią się one tylko jednym znakiem. Także można zastosować tu wzór skróconego mnożenia . Można też pozbyć się nawiasów kolejno wymnażając składniki – i tak otrzymamy identyczny wynik, ale stosując wzór skróconego mnożenia działanie wykonujemy szybciej:

Założenie: (żaden z mianowników nie może być równy ).

Po przekształceniu założenia otrzymujemy:

Ostatecznie otrzymujemy: (aby się nie powtarzać)

Od razu uprzedzam nie można skracać cosinusów z licznika i mianownika, ponieważ w liczniku występuje dodawanie.

Aby możliwe było skracanie znak dodawania wraz z otaczającymi go elementami musi być zamknięte w nawiasie !!!

Jak widać po zamknięciu dodawania i otaczających go bezpośrednio elementów nie występuje możliwość skracania. Wnętrze nawiasu jest nietykalne, skracaniu ulega cały nawias jeżeli jest to możliwe.

I sposób

Lewa strona równości jest dłuższa, zatem to ona będzie przekształcana, poza tym znajduje się tu cotangens. Na początku rozdzielimy ułamek z lewej strony na dwa, ponieważ po prawej stronie widać dwie kreski ułamkowe, znów przypominam, że można to wykonać tak jak się to robi na zwykłych ułamkach :

Pierwszy ułamek został skrócony, ponieważ pomiędzy składnikami jest znak mnożenia i tu bez problemu można było to zrobić.

Następnie pozbędziemy się tangensa korzystając ze wzoru i rozbroimy piętrowy ułamek zastępując główną kreskę ułamkową znakiem dzielenia:

Dla ułatwienia obliczeń wykorzystano zapis (każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie)

II sposób

Na początku pozbędziemy się tangensa korzystając ze wzoru :

Teraz uprościmy licznik głównego ułamka wciągając na kreskę ułamkową, dla ułatwienia obliczeń zostanie zastosowany zapis (każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie):

Teraz pozbędziemy się piętrowego ułamka zastępując główną kreskę ułamkową znakiem dzielenia: :

Dla ułatwienia obliczeń zastosowano zapis (każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie). Teraz zamieniamy dzielenie na mnożenie odwracając drugi ułamek:

Niestety nie można tu skracać na krzyż, ponieważ w liczniku pierwszego ułamka występuje dodawanie. Skracanie jest możliwe tylko wtedy, gdy dodawanie będzie zamknięte wraz z okalającymi jej liczbami w nawiasie. W tym przypadku po nałożeniu nawiasu na licznik czyli „zamknięciu” poza nawiasem nie zostanie już nic, z czym można byłoby skrócić mianownik drugiego ułamka. Także mnożymy licznik przez licznik oraz mianownik przez mianownik.

Na tym etapie również nie można skracać elementów licznika z mianownikiem, ponieważ na górze znów występuje dodawanie, które nie jest zamknięte w nawiasie. Co można tu zrobić ? Zauważmy, że po prawej stronie tożsamości występują dwie kreski ułamkowe, na razie mamy jedną, zatem rozdzielmy ją na dwie. Możemy to wykonać analogicznie jak na ułamkach :

Teraz możliwe jest skracanie, ponieważ mamy dwa oddzielne ułamki, a w każdym z ułamków jest tylko mnożenie. Po skróceniu otrzymujemy:

Założenie: (żaden z mianowników nie może być równy ).

Po przekształceniu założenia otrzymujemy:

Ostatecznie otrzymujemy: (aby się nie powtarzać)

Od razu uprzedzam nie można skracać cosinusów z licznika i mianownika, ponieważ w liczniku występuje dodawanie.

Aby możliwe było skracanie znak dodawania wraz z otaczającymi go elementami musi być zamknięte w nawiasie !!!

Jak widać po zamknięciu dodawania i otaczających go bezpośrednio elementów nie występuje możliwość skracania. Wnętrze nawiasu jest nietykalne, skracaniu ulega cały nawias jeżeli jest to możliwe.

Lewa strona równości jest dłuższa, zatem to ona będzie przekształcana, poza tym znajduje się tu cotangens. Na początku rozdzielimy ułamek z lewej strony na dwa, ponieważ po prawej stronie widać dwie kreski ułamkowe, znów przypominam, że można to wykonać tak jak się to robi na zwykłych ułamkach :

Pierwszy ułamek został skrócony, ponieważ pomiędzy składnikami jest znak mnożenia i tu bez problemu można było to zrobić.

Następnie pozbędziemy się cotangensa korzystając ze wzoru i rozbroimy piętrowy ułamek zastępując główną kreskę ułamkową znakiem dzielenia:

II sposób

Na początku pozbędziemy się cotangensa korzystając ze wzoru :

Teraz uprościmy licznik głównego ułamka wciągając na kreskę ułamkową, dla ułatwienia obliczeń zostanie zastosowany zapis (każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie):

Teraz pozbędziemy się piętrowego ułamka zastępując główną kreskę ułamkową znakiem dzielenia: :

Dla ułatwienia obliczeń zastosowano zapis (każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie). Teraz zamieniamy dzielenie na mnożenie odwracając drugi ułamek:

Niestety nie można tu skracać na krzyż, ponieważ w liczniku pierwszego ułamka występuje dodawanie. Skracanie jest możliwe tylko wtedy, gdy dodawanie będzie zamknięte wraz z okalającymi jej liczbami w nawiasie. W tym przypadku po nałożeniu nawiasu na licznik czyli „zamknięciu” poza nawiasem nie zostanie już nic, z czym można byłoby skrócić mianownik drugiego ułamka. Także mnożymy licznik przez licznik oraz mianownik przez mianownik.

Na tym etapie również nie można skracać elementów licznika z mianownikiem, ponieważ na górze znów występuje dodawanie, które nie jest zamknięte w nawiasie. Co można tu zrobić ? Zauważmy, że po prawej stronie tożsamości występują dwie kreski ułamkowe, na razie mamy jedną, zatem rozdzielmy ją na dwie. Możemy to wykonać analogicznie jak na ułamkach :

Teraz możliwe jest skracanie, ponieważ mamy dwa oddzielne ułamki, a w każdym z ułamków jest tylko mnożenie. Po skróceniu otrzymujemy: