Założenie:

(cały mianownik nie może być równy , bo nie dzieli się przez , ale po przekształceniu założenia otrzymujemy tangens podniesiony do kwadratu różny od , jak wiadomo jakakolwiek liczba podniesiona do kwadratu jest różna od liczby ujemnej, zatem okazuje się, że nie ma ograniczeń co do wartości tangensa kąta i co za tym idzie samego kąta)

Tu też ostrzegam przed nieprawidłowym skracaniem, o ile licznik ułamka jest w idealnej formie do skracania (pamiętajmy, że nie można skracać pojedynczych elementów z wnętrza nawiasu, cały nawias tak, ale musi być on identyczny jak cały mianownik), to gdyby komuś przyszło do głowy skracanie typu to jest to niedozwolone, ponieważ dodawanie wraz z okalającymi elementami w mianowniku musi być zamknięte w nawiasie. Po zamknięciu w nawiasie nie ma już z czym skrócić tangensa z licznika.

Lewa strona równania jest zdecydowanie dłuższa, zatem to ona będzie przekształcana. Na początku warto pozbyć się nawiasu w liczniku wymnażając kolejno składniki:

Zauważmy, że w przykładzie występują same tangensy i cotangensy, a po prawej stronie mamy otrzymać cotangens, zatem kolejnym krokiem po pozbyciu się nawiasów będzie zamiana tangensów na cotangensy zgodnie ze wzorem oraz sprowadzenie powstałych ułamków z licznika i mianownika mega ułamka do wspólnego mianownika, dla ułatwienia działań zastosujemy zapis oraz (każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie):

Teraz pozbędziemy się piętrowego ułamka zastępując główną kreskę ułamkową znakiem dzielenia i postępując dokładnie tak jak na ułamkach zwykłych:

Założenie:

(cały mianownik nie może być równy , bo nie dzieli się przez , ale po przekształceniu założenia otrzymujemy cotangens podniesiony do kwadratu różny od , jak wiadomo jakakolwiek liczba podniesiona do kwadratu jest różna od liczby ujemnej, zatem okazuje się, że nie ma ograniczeń co do wartości cotangensa kąta i co za tym idzie samego kąta)

Tu też ostrzegam przed nieprawidłowym skracaniem, o ile licznik ułamka jest w idealnej formie do skracania (pamiętajmy, że nie można skracać pojedynczych elementów z wnętrza nawiasu, cały nawias tak, ale musi być on identyczny jak cały mianownik), to gdyby komuś przyszło do głowy skracanie typu to jest to niedozwolone, ponieważ dodawanie wraz z okalającymi elementami w mianowniku musi być zamknięte w nawiasie. Po zamknięciu w nawiasie nie ma już z czym skrócić cotangensa z licznika.

Lewa strona równania jest zdecydowanie dłuższa, zatem to ona będzie przekształcana. Na początku warto pozbyć się nawiasu w liczniku wymnażając kolejno składniki:

Zauważmy, że w przykładzie występują same tangensy i cotangensy, a po prawej stronie mamy otrzymać tangens, zatem kolejnym krokiem po pozbyciu się nawiasów będzie zamiana cotangensów na tangensy zgodnie ze wzorem oraz sprowadzenie powstałych ułamków z licznika i mianownika mega ułamka do wspólnego mianownika, dla ułatwienia działań zastosujemy zapis oraz (każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie):

Teraz pozbędziemy się piętrowego ułamka zastępując główną kreskę ułamkową znakiem dzielenia i postępując dokładnie tak jak na ułamkach zwykłych:

Równość można sprawdzić na kilka sposobów. Obie strony są identyczne względem długości.

Można rozłożyć liczbę zgodnie ze wzorem . Oczywiście jest to jak najbardziej prawidłowe rozwiązanie, ale najlepiej w ostateczności korzystać z rozkładania na sinus i cosinus, ponieważ przykład może się rozrosnąć do niebotycznych rozmiarów i nie będzie wiadomo co z tym później zrobić - zwłaszcza w skomplikowanych tożsamościach. Zresztą później i tak trzeba będzie korzystać z przekształceń jedynki trygonometrycznej i przykład niepotrzebnie się wydłuży, zwłaszcza że mamy po obu stronach i nie warto się jej pozbywać.

I sposób

Zaczniemy od lewej strony, po prawej stronie mamy otrzymać cosinus, a jeżeli jest to cosinus do kwadratu, dlatego na pewno skorzystamy z przekształconej jedynki trygonometrycznej aby pozbyć się sinusa:

II sposób

Zaczniemy od prawej strony, po lewej stronie mamy otrzymać sinus, a jeżeli jest to cosinus do kwadratu, dlatego na pewno skorzystamy z przekształconej jedynki trygonometrycznej aby pozbyć się cosinusa:

Obie strony równości są podobnej długości, zatem nie ważne od której strony zaczniemy przekształcenia.

I sposób

Zaczniemy od lewej strony, po prawej mamy otrzymać cosinus do kwadratu, dlatego od razu nasuwa się na myśl wykorzystanie przekształconej jedynki trygonometrycznej aby pozbyć się sinusa po lewej stronie :

II sposób

Zaczniemy od prawej strony. Tak jak już wcześniej wspomniano zdecydowanie lepiej jest rozkładać ze wzoru w ostateczności, ale po lewej stronie nie występuje , zatem można zastosować ten wzór aby się jej pozbyć.