Założenie: (mianownik nie może być równy ). Po przekształceniu założenia otrzymujemy i ostatecznie , ponieważ oraz .

Lewa strona równości jest dłuższa, zatem to ona będzie podlegać przekształceniom. Daną tożsamość można udowodnić na dwa sposoby.

I sposób

Licznik i mianownik ułamka przypominają przekształcenia jedynki trygonometrycznej tzn. oraz , ale poszczególne składniki są w innej kolejności. Zmieńmy więc tą kolejność, pamiętając przy tym, że wraz z liczbą przenosi się znak stojący przed nią:

W przekształceniach jedynki trygonometrycznej występują przeciwne znaki, tak więc aby uzyskać pożądane znaki należy wyciągnąć minus przed nawias, który zmieni je na właściwe:

Podczas dzielenia minusy się skrócą, bo :

Korzystając z własności i wzoru otrzymujemy:

II sposób

Tym razem rozpiszemy jedynkę korzystając z zapisu . Należy jednak pamiętać, że w dłuższych przykładach nie warto tego robić, ponieważ dość krótkie wyrażenie może rozrosnąć się do ogromnych rozmiarów. Starajmy się zatem zwijać do jedynki, a nie rozpisywać na sinus i cosinus. W tym przypadku przykład nie jest mocno skomplikowany, także nie utrudnimy sobie obliczeń. Pamiętajmy o nawiasach aby nie pogubić znaków:

Teraz pozbędziemy się nawiasów, przed obydwoma stoi minus, także opuszczając nawiasy zmienimy znaki na przeciwne:

Podczas dzielenia minusy się skrócą, bo :

Korzystając z własności i wzoru otrzymujemy:

W tym przykładzie obie strony mają podobną długość, jednak po lewej stronie występują wyższe wartości potęg i to właśnie lewa strona będzie przekształcana. Trzeba się tu wykazać znajomością wzorów skróconego mnożenia. Na początku zapiszemy czwórki z wykładników potęg za pomocą dwójek, ponieważ po prawej stronie znajdują się właśnie dwójki:

Teraz skorzystamy z własności potęg, gdzie :

Teraz przyjrzyjmy się powstałemu wynikowi - mamy dwa elementy poniesione do kwadratu, które są oddzielone znakiem minus. I w tym momencie trzeba użyć wzoru skróconego mnożenia do rozłożenia powstałego wyrażenia na czynniki (czyli iloczyn nawiasów):

Teraz przyjrzyjmy się zawartości nawiasów, w pierwszym z nich otrzymaliśmy jedynkę trygonometryczną:

I w końcu ostatnie przekształcenie, które będzie polegało na zlikwidowaniu sinusa, ponieważ po prawej stronie równości sinus nie występuje. W przykładzie mamy sinus do kwadratu, także można go ławo zamienić na cosinus korzystając ze wzoru na przekształconą jedynkę trygonometryczną . Pamiętajmy o używaniu nawiasów aby nie pogubić znaków:

Założenie: (mianownik nie może być równy ). Po przekształceniu założenia otrzymujemy - co jest zawsze prawdą, ponieważ dowolna liczba lub wyrażenie podniesiona do kwadratu nigdy nie będzie liczbą ujemną. Ostatecznie w związku z tym można zapisać , bo niezależnie od wartości kąta cotangens podniesiony do kwadratu nie będzie ujemny.

Znów uprzedzam przed „radosnym” skracaniem w stylu: . Aby skracanie było możliwe znak dodawania lub odejmowania musi być zamknięty wraz z okalającymi go elementami w nawiasie: . Po zamknięciu w nawiasie nie ma już elementów do skracania. Oczywiście pamiętamy, że pojedynczych elementów z wnętrza nawiasów nie wolno skracać. Skróceniu ulega wyłącznie cała zawartość nawiasów o ile jest identyczna.

Lewa strona tożsamości jest dłuższa i to ona będzie podlegać przekształceniom. Na początku pozbędziemy się cotangensów korzystając ze wzoru , ponieważ po lewej stronie do której uzyskania dążymy cotangensy nie występują, poza tym łatwiej będzie wykonywać przekształcenia z sinusem znajdującym się na początku przykładu:

Teraz do powstałych ułamków „wrzucimy” jedynki sprowadzając je do wspólnego mianownika, dla ułatwienia działań użyjemy zapisu (każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie):

Kolejnym krokiem będzie zlikwidowanie piętrowego ułamka poprzez zamianę kreski ułamkowej na znak dzielenia, a następnie zamiana dzielenia na mnożenie przez odwrotność dzielnika:

Jedynkę z mianownika można już sobie darować, ale opuszczając ją zapiszemy wyrażenie z licznika w nawiasie, ponieważ jeżeli przed ułamkiem występuje minus, to zmieni on wszystkie znaki w liczniku lub mianowniku:

Opuszczamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne. Oczywiście zmieniamy znaki w nawiasie, bo stoi przed nim minus:

Założenie: (żaden mianownik nie może być równy ). W przykładzie mamy dwa identyczne mianowniki, ale nie ma sensu pisać kilka razy tego samego, dlatego w założeniu występuje tylko raz. Po przekształceniu otrzymujemy ostatecznie .

Lewa strona tożsamości jest dłuższa, zatem to ona będzie podlegać przekształceniom. Po tej stronie mamy dwa ułamki, a po prawej do której uzyskania dążymy mamy jeden ułamek, tak więc najbardziej oczywistą operacją jest sprowadzenie danych ułamków do wspólnego mianownika:

Na początku wymnóżmy wyrażenia w licznikach, na razie zostawmy nawiasy w mianowniku w spokoju, ponieważ może się zdarzyć, że po kilku przekształceniach pojawi się możliwość skracania, a jeśli wymnożymy nawiasy za wcześnie to niekoniecznie ją zauważymy.

Mamy już wspólny mianownik, tak więc można zapisać wszystko na jednej kresce ułamkowej:

W liczniku niestety nie powstało nic nadzwyczajnego, dlatego przyjrzyjmy się prawej stronie tożsamości, gdzie w liczniku mamy tylko , także jest tu wskazówka co należy zrobić z licznikiem – pozbędziemy się cosinusa, bo po prawej stronie tożsamości nie ma cosinusa w liczniku. Skorzystamy ze wzoru . Nie zapominajmy o nawiasach, bo pogubimy znaki:

Teraz najtrudniejsza część, w liczniku powstał rozpisany wzór skróconego mnożenia , który należy zwinąć do postaci . Aby łatwiej go zauważyć przedstawię rozpisanie. Pamiętajmy, że oraz wymnożenie przez nie zmienia wyniku:

Na końcu rozpisano tak jak chociażby i skrócono nawias. Skracanie było możliwe, ponieważ wszelkie plusy i minusy były zamknięte w nawiasach wraz z otaczającymi je składnikami.