Założenie: (mianownik nigdy nie może być równy )

Od razu przestrzegam przed skracaniem typu . Aby bezbłędnie skracać ułamek znak dodawania musi być zamknięty w nawiasie wraz z okalającymi je elementami: . Wnętrza nawiasu nie wolno ruszać i jak widać nie ma za bardzo z czym skrócić cosinusa z mianownika.

Obie strony wyrażenia są podobnej długości. Powyższy przykład można rozwiązać na dwa sposoby:

I sposób

Po prawej stronie wyrażenia jest tangens, po lewej już go nie ma. Wobec tego zaczniemy przekształcać prawą stronę do lewej zaczynając od wzoru .

Trzeba też stworzyć kreskę ułamkową, ponieważ znajduje się ona po lewej stronie. Dokonamy tego „wrzucając” liczbę do ułamka. Najpierw zastosujemy zapis pomocniczy , a następnie sprowadzimy składniki do wspólnego mianownika:

II sposób

Lewą stronę można rozdzielić na dwa ułamki tak jak się to robi na zwykłych liczbach np. i skorzystać ze wzoru

Założenie: (mianownik nigdy nie może być równy )

Przestrzegam przed „twórczością radosną” objawiającą się w skracaniu . Aby bezbłędnie skracać ułamek znak dodawania musi być zamknięty w nawiasie wraz z okalającymi je elementami: . Wnętrza

nawiasu nie wolno ruszać i jak widać nie ma za bardzo z czym skrócić sinusa z mianownika.

Obie strony wyrażenia mają podobną długość, po prawej stronie występuje tangens i cotangens, po lewej nie, poza tym po prawej stronie mamy nawias. Zaczniemy od pozbycia się nawiasów, a następnie korzystając ze wzoru :

Teraz rozpiszemy cotangens zgodnie ze wzorem i będziemy starać się doprowadzić prawą stronę do lewej tworząc kreskę ułamkową. Dokonamy tego wrzucając do licznika poprzez sprowadzenie do wspólnego mianownika pomocniczego wyrażenia :

Założenie: (żaden mianownik nie może być równy )

Przestrzegam przed „twórczością radosną” objawiającą się w skracaniu . Aby bezbłędnie skracać ułamek znak dodawania musi być zamknięty w nawiasie wraz z okalającymi je elementami: . Wnętrza

nawiasu nie wolno ruszać i jak widać nie ma za bardzo z czym skrócić sinusa z mianownika.

Lewa strona wyrażenia jest nieco dłuższa, poza tym występuje tu tangens. Można ją udowodnić na dwa sposoby krótszy i nieco dłuższy. W pierwszym (krótszym) najpierw rozbijemy ułamek tu występujący na dwa mniejsze, a później pozbędziemy się tangensa, natomiast w dłuższym wykonamy to w odwrotnej kolejności.

I sposób

Zaczniemy od rozdzielenia ułamka po lewej stronie na dwa mniejsze tak jak się to robi na prostych ułamkach , bo po prawej nie wszystko jest na jednej kresce ułamkowej:

Następnie skorzystamy ze wzoru i od razu pozbędziemy się piętrowego ułamka zastępując główną kreskę ułamkową znakiem dzielenia. Zastosujemy później dla ułatwienia zapis :

II sposób

Również zajmiemy się lewą stroną, ale zaczniemy do rozpisania tangensa ze wzoru :

Teraz wrzucimy do nowo powstałego ułamka stosując zapis i sprowadzając oba wyrażenia z licznika mega ułamka do wspólnego mianownika:

Nie powstało nic szczególnego, zatem teraz pozbędziemy się piętrowego ułamka zastępując główną kreskę ułamkową znakiem dzielenia oraz zamieniając dzielenie na mnożenie dokonując odwrócenia dzielnika. Dla ułatwienia zastosujemy zapis :

Na razie nie wolno skracać, ponieważ w liczniku pierwszego ułamka nie zamknięto dodawania w nawiasie wraz z okalającymi go elementami, ale można tu wyciągnąć przed nawias, pamiętajmy, że w wypadku zabrania „wszystkiego” przy wyciąganiu czynnika przed nawias zostaje . Po tej operacji będzie już wolno skracać :

Teraz rozdzielmy powstały ułamek na dwa mniejsze tak jak się to robi na prostych ułamkach , bo po prawej nie wszystko jest na jednej kresce ułamkowej:

Założenie: (żaden mianownik nie może być równy )

Przestrzegam przed „twórczością radosną” objawiającą się w skracaniu typu . Aby bezbłędnie skracać ułamek znak dodawania musi być zamknięty w nawiasie wraz z okalającymi je elementami: .

Wnętrza nawiasu nie wolno ruszać i jak widać nie ma za bardzo z czym skrócić sinusa z mianownika.

Lewa strona wyrażenia jest nieco dłuższa, poza tym występuje tu cotangens. Można ją udowodnić na dwa sposoby krótszy i nieco dłuższy. W pierwszym (krótszym) najpierw rozbijemy ułamek tu występujący na dwa mniejsze, a później pozbędziemy się cotangensa, natomiast w dłuższym wykonamy to w odwrotnej kolejności.

I sposób

Zaczniemy od rozdzielenia ułamka po lewej stronie na dwa mniejsze tak jak się to robi na prostych ułamkach , bo po prawej nie wszystko jest na jednej kresce ułamkowej:

Następnie skorzystamy ze wzoru i od razu pozbędziemy się piętrowego ułamka zastępując główną kreskę ułamkową znakiem dzielenia. Zastosujemy później dla ułatwienia zapis :

II sposób

Również zajmiemy się lewą stroną, ale zaczniemy do rozpisania cotangensa ze wzoru :

Teraz wrzucimy do nowo powstałego ułamka stosując zapis i sprowadzając oba wyrażenia z licznika mega ułamka do wspólnego mianownika:

Nie powstało nic szczególnego, zatem teraz pozbędziemy się piętrowego ułamka zastępując główną kreskę ułamkową znakiem dzielenia oraz zamieniając dzielenie na mnożenie dokonując odwrócenia dzielnika. Dla ułatwienia zastosujemy zapis :

Na razie nie wolno skracać, ponieważ w liczniku pierwszego ułamka nie zamknięto dodawania w nawiasie wraz z okalającymi go elementami, ale można tu wyciągnąć przed nawias, pamiętajmy, że w wypadku zabrania „wszystkiego” przy wyciąganiu czynnika przed nawias zostaje . Po tej operacji będzie już wolno skracać :

Teraz rozdzielmy powstały ułamek na dwa mniejsze tak jak się to robi na prostych ułamkach , bo po prawej nie wszystko jest na jednej kresce ułamkowej: