W tym przykładzie obie strony mają podobną długość, jednak po lewej stronie występują wyższe wartości potęg i to właśnie lewa strona będzie przekształcana. Trzeba się tu również wykazać znajomością wzorów skróconego mnożenia. Na początku zapiszemy czwórki z wykładników potęg za pomocą dwójek, ponieważ po prawej stronie znajdują się właśnie dwójki:

Teraz skorzystamy z własności potęg, gdzie :

Przyjrzyjmy się powstałemu wynikowi - mamy dwa elementy poniesione do kwadratu, które są oddzielone znakiem minus. I w tym momencie trzeba użyć wzoru skróconego mnożenia do rozłożenia powstałego wyrażenia na czynniki (czyli iloczyn nawiasów):

Teraz przyjrzyjmy się zawartości nawiasów, w pierwszym z nich otrzymaliśmy jedynkę trygonometryczną:

Po prawej stronie nie występuje , tak więc przekształcimy go na cosinus stosując wzór na przekształconą jedynkę trygonometryczną , nie zapominajmy o nawiasach:

Założenie: (mianownik nie może być równy )

Lewa strona równości jest dłuższa, zatem to ona będzie przekształcana. Zaczniemy od opuszczenia nawiasów i wymnożymy kolejno elementy:

Dla ułatwienia działań zastosowano zapis , dzięki któremu zyskaliśmy pewność jakie elementy można ze sobą wymnożyć.

Kolejny krok to likwidacja cotangensa, ponieważ po prawej stronie do której uzyskania dążymy tangens nie występuje. Korzystamy oczywiście ze wzoru :

Tu ponownie skorzystamy z zapisu dla ułatwienia działań:

Uzyskaliśmy wspólny mianownik, dlatego można bez obaw zapisać oba ułamki na jednej kresce ułamkowej:

Lewa strona równości jest dłuższa, zatem to ona będzie podlegać przekształceniom. Zaczniemy od opuszczeni nawiasów wymnażając kolejno składniki:

Teraz przyjrzyjmy się zapisowi . Przypomina on nieco wzór , ale kwadraty nie pozwalają nam od razu zastąpić go jedynką. Nie stanowi to problemu, ponieważ korzystając z własności potęg mamy :

Kolejny etapem będzie likwidacja tangensa przy użyciu wzoru :

Dla ułatwienia działań zastosujemy zapis , dzięki któremu zyskamy pewność jakie elementy można ze sobą skracać:

Daną równość można udowodnić na dwa sposoby.

I sposób

Zajmiemy się prawą stroną, którą należy przekształcić w podobny zapis znajdujący się po lewej stronie. Zwróćmy uwagę na większą potęgę, która jest przy cosinusie. Na początku zlikwidujemy wykładnik na niższy korzystając z własności potęg czyli :

Teraz przekształcimy cosinus znajdujący się w nawiasie na sinus korzystając z przekształconej jedynki trygonometrycznej :

Następnie pozbędziemy się nawiasu korzystając ze wzoru skróconego mnożenia . Wynik zapiszemy w nawiasie aby nie pogubić znaków, ponieważ oprócz zlikwidowania nawiasów mamy do wykonania inne działania:

Teraz pozbędziemy się nawiasów. Przed nawiasem nie ma nic, a więc w domyśle jest plus, także opuszczając nawias nie zmieniamy żadnych znaków, a następnie zredukujemy wyrazy podobne:

II sposób

Zajmiemy się lewą stroną. Tu znowu zwróćmy uwagę na większą potęgę, która znajduje się tym razem przy sinusie. Po prawej stronie mamy sinus z niższą potęgą, tak więc na początku zlikwidujemy wykładnik na niższy korzystając z własności potęg czyli :

Teraz przekształcimy sinus znajdujący się w nawiasie na cosinus korzystając z przekształconej jedynki trygonometrycznej :

Następnie pozbędziemy się nawiasu korzystając ze wzoru skróconego mnożenia . Wynik zapiszemy w nawiasie aby nie pogubić znaków, ponieważ oprócz zlikwidowania nawiasów mamy do wykonania inne działania:

Teraz pozbędziemy się nawiasów. Przed nawiasem nie ma nic, a więc w domyśle jest plus, także opuszczając nawias nie zmieniamy żadnych znaków, a następnie zredukujemy wyrazy podobne:

Mamy już , który znajduje się po prawej stronie, ale potrzebujemy jeszcze . Możemy łatwo pozbyć się cosinusa korzystając ze wzoru na przekształconą jedynkę trygonometryczną . Nie zapominajmy o użyciu nawiasów:

Ponownie pozbędziemy się nawiasów wymnażając dwójkę: