Dany przykład można udowodnić na dwa sposoby.

I sposób

Zajmiemy się lewą stroną i zaczniemy niestandardowo – nie będziemy pozbywać się nawiasów, ponieważ i tak to nic nie da. Po prawej stronie do której otrzymania dążymy występuje wyłącznie cosinus, także pierwszym krokiem będzie zamiana sinusa z lewej strony tożsamości na cosinus. Skorzystamy tu z przekształconej jedynki trygonometrycznej , nie zapominajmy o użyciu nawiasów:

Dopiero teraz pozbędziemy się nawiasów. Przyjrzymy się ich zawartości – jest właściwie identyczna oprócz znaku. Dzięki temu można skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia . Oczywiście nie się nie stanie jeśli wymnożymy nawiasy na piechotę, ale będzie to trwało nieco dłużej:

Na końcu skorzystamy z właściwości potęg i otrzymujemy:

II sposób

Tym razem zajmiemy się prawą stroną i od razu skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia , ponieważ po tej stronie mamy dwa elementy podniesione do parzystych potęg oddzielone minusem. Należy się zastanowić co podniesione do kwadratu daje i :

Na końcu skorzystamy ze wzoru na przekształconą jedynkę trygonometryczną :

Daną tożsamość można udowodnić na dwa sposoby.

I sposób

Zajmiemy się lewą stroną, którą należy przekształcić w bardzo podobny zapis. Zwróćmy uwagę na większą potęgę, która jest przy cosinusie. Po prawej stronie mamy już cosinus do kwadratu, a więc musimy ją rozpisać. Na początku zlikwidujemy wykładnik na niższy korzystając z własności potęg czyli :

Teraz przekształcimy cosinus znajdujący się w nawiasie na sinus korzystając z przekształconej jedynki trygonometrycznej :

Następnie pozbędziemy się nawiasu korzystając ze wzoru skróconego mnożenia . Wynik zapiszemy w nawiasie aby nie pogubić znaków, ponieważ oprócz zlikwidowania nawiasów mamy do wykonania inne działania:

Teraz pozbędziemy się nawiasów. Przed nawiasem jest znak plus także opuszczając nawias nie zmieniamy żadnych znaków, a następnie zredukujemy wyrazy podobne:

Otrzymaliśmy sinus podniesiony do potęgi czwartej, ale po prawej stronie oprócz tego musimy uzyskać , także należy zlikwidować . Tu ponownie skorzystamy z przekształconej jedynki trygonometrycznej :

II sposób

Zajmiemy się prawą stroną, którą należy przekształcić w bardzo podobny zapis. Zwróćmy uwagę na większą potęgę, która jest przy sinusie. Po lewej stronie mamy już sinus do kwadratu, a więc musimy ją rozpisać. Na początku zlikwidujemy wykładnik na niższy korzystając z własności potęg czyli :

Teraz przekształcimy sinus znajdujący się w nawiasie na cosinus korzystając z przekształconej jedynki trygonometrycznej :

Następnie pozbędziemy się nawiasu korzystając ze wzoru skróconego mnożenia . Wynik zapiszemy w nawiasie aby nie pogubić znaków, ponieważ oprócz zlikwidowania nawiasów mamy do wykonania inne działania:

Teraz pozbędziemy się nawiasów. Przed nawiasem jest znak plus także opuszczając nawias nie zmieniamy żadnych znaków, a następnie zredukujemy wyrazy podobne:

Otrzymaliśmy cosinus podniesiony do potęgi czwartej, ale po lewej stronie oprócz tego musimy uzyskać , także należy zlikwidować . Tu ponownie skorzystamy z przekształconej jedynki trygonometrycznej :

Lewa strona równości jest zdecydowanie dłuższa, zatem to ona będzie przekształcana. Zaczniemy od likwidacji nawiasów korzystając ze wzorów skróconego mnożenia do pierwszego nawiasu oraz do drugiego. Wyniki obydwu przekształceń zapiszemy w nawiasach, ponieważ mamy w perspektywie wykonywanie dalszych działań (dodawanie) i dzięki temu unikniemy niebezpieczeństwa polegającego na zgubieniu znaków:

W tym momencie pozbędziemy się nawiasów „ochronnych” - znajduje się przed nimi znak dodawania (nawet jeśli go nie widać), także opuszczając nawiasy nic się nie zmienia w ich zawartości:

Po opuszczeniu nawiasów zredukujemy wyrazy podobne:

Kończąc dowodzenie prawdziwości tożsamości wyciągniemy przed nawias, która dosłownie się o to prosi i dzięki temu zapisujemy oraz obok siebie, co daje jedynkę trygonometryczną:

Lewa strona przykładu jest dłuższa, zatem to ona będzie podlegać przekształceniom. Na samym początku pozbędziemy się nawiasów wymnażając kolejno składniki:

Teraz pozbędziemy się tangensa korzystając ze wzoru , ponieważ po prawej stronie do której uzyskania dążymy tangens nie występuje:

W tym momencie możemy skrócić poszczególne wyrażenia, ponieważ pomiędzy nimi występuje wyłącznie znak mnożenia. Aby bezbłędnie wykonać skracanie zastosujemy zapis , ponieważ jakakolwiek liczba podzielona przez nie ulega zmianie: