Po lewej stronie tożsamości występują nawiasy, więc pierwszą wykonaną czynnością będzie ich likwidacja. Można to wykonać poprzez wymnożenie kolejnych składników, ale warto przyjrzeć się zawartości nawiasów – są identyczne poza znakiem występującym pośrodku, także można użyć tu wzoru skróconego postaci :

Po prawej stronie tożsamości, do której uzyskania dążymy nie ma cosinusa, ale mając cosinus podniesiony do kwadratu bez problemu można zamienić go na sinus korzystając ze wzoru na przekształconą jedynkę trygonometryczną . Przy zamianie pamiętajmy o nawiasie, aby nie pogubić znaków:

Założenie: (mianownik nie może być równy ). Po przekształceniu założenia otrzymujemy - co jest zawsze prawdą, ponieważ dowolna liczba lub wyrażenie podniesiona do kwadratu nigdy nie będzie liczbą ujemną. Ostatecznie w związku z tym można zapisać , bo niezależnie od wartości kąta tangens podniesiony do kwadratu nie będzie ujemny.

Znów uprzedzam przed „radosnym” skracaniem w stylu: . Aby skracanie było możliwe znak dodawania lub odejmowania musi być zamknięty wraz z okalającymi go elementami w nawiasie: . Po zamknięciu w nawiasie nie ma już elementów do skracania. Oczywiście pamiętamy, że pojedynczych elementów z wnętrza nawiasów nie wolno skracać. Skróceniu ulega wyłącznie cała zawartość nawiasów o ile jest identyczna.

Lewa strona tożsamości jest dłuższa i to ona będzie przekształcana. Poza tym występuje tu tangens, który można spokojnie rozpisać na sinus i cosinus ze wzoru , które mamy po prawej stronie tożsamości:

Teraz wciągniemy jedynkę z dołu na kreskę ułamkową poprzez sprowadzenie do wspólnego mianownika, dla ułatwienia zostanie użyty zapis , bo każda liczba podzielona przez jeden nie ulega zmianie:

Teraz pozbędziemy się piętrowego ułamka zamieniając główną kreskę ułamkową na znak dzielenia, a później analogicznie jak na ułamkach zwykłych zastępując dzielenie mnożeniem przez odwrotność drugiego składnika (tzw. dzielnika):

Skracanie było możliwe, ponieważ w liczniku i mianowniku było wyłącznie mnożenie.

W tym przykładzie obie strony mają podobną długość, jednak po lewej stronie występują wyższe wartości potęg i to właśnie lewa strona będzie przekształcana. Trzeba się tu wykazać znajomością wzorów skróconego mnożenia. Na początku zapiszemy czwórki z wykładników potęg za pomocą dwójek, ponieważ po prawej stronie znajdują się właśnie dwójki:

Następnie skorzystamy z własności potęg, gdzie :

Teraz przyjrzyjmy się powstałemu wynikowi - mamy dwa elementy poniesione do kwadratu, które są oddzielone znakiem minus. I w tym momencie trzeba użyć wzoru skróconego mnożenia do rozłożenia powstałego wyrażenia na czynniki (czyli iloczyn nawiasów):

Teraz przyjrzyjmy się zawartości nawiasów, w pierwszym z nich otrzymaliśmy jedynkę trygonometryczną:

Po prawej stronie tożsamości, do której uzyskania dążymy nie ma cosinusa, ale mając cosinus podniesiony do kwadratu bez problemu można zamienić go na sinus korzystając ze wzoru na przekształconą jedynkę trygonometryczną . Przy zamianie pamiętajmy o nawiasie, aby nie pogubić znaków:

Założenie: (mianownik nie może być równy ). Ostatecznie otrzymujemy , ponieważ jeżeli cosinus jest różny od zera, to tym bardziej cosinus podniesiony do kwadratu będzie różny od zera.

Podaną równość można udowodnić na dwa sposoby:

I sposób

Zajmiemy się lewą stroną, mimo że wydaje się krótsza, ale występuje tu tangens, który można zlikwidować korzystając ze wzoru . Poza tym po prawej stronie, do której uzyskania dążymy nie ma żadnego tangensa:

Znów przyjrzyjmy się prawej stronie, która w całości jest ułamkiem, tak więc musimy wrzucić na kreskę ułamkową poprzez sprowadzenie do wspólnego mianownika. Dla ułatwienia działań zostanie użyty zapis (każda liczna podzielona przez nie ulega zmianie):

Po prawej stronie tożsamości nie ma cosinusa w liczniku, ale mając cosinus podniesiony do kwadratu bez problemu można zamienić go na sinus korzystając ze wzoru na przekształconą jedynkę trygonometryczną . Przy zamianie pamiętajmy o nawiasie, aby nie pogubić znaków, w tym przypadku nie są one niezbędne, ale przezorny zawsze ubezpieczony:

II sposób

Tym razem zaczniemy od prawej strony. Sposób ten może wydać się nieco karkołomny. Na początku rozdzielmy ułamek na dwa, analogicznie jak wykonuje się to na ułamkach zwykłych np. . Czynność ta pozwoli nam na uzyskanie dwóch oddzielnych składników, które mamy po lewej stronie tożsamości:

Na razie zajmiemy się drugim nowo powstałym ułamkiem i korzystając z własności potęg oraz wzoru stworzymy tangens do kwadratu:

Uzyskaliśmy tangens podniesiony do kwadratu, ale przeszkadza nam jeszcze dwójka i w mianowniku pierwszego ułamka. Teraz rozbijemy jedynkę z pierwszego ułamka korzystając ze wzoru na jedynkę trygonometryczną, bo nie ma tu innego wyjścia pozwalającego na zlikwidowanie tego ułamka:

Na tym etapie nie wolno skracać cosinusów z licznika i mianownika, ponieważ w liczniku występuje dodawanie pomiędzy składnikami!

Teraz znowu rozdzielimy powstały ułamek na dwa analogicznie jak wykonuje się to na ułamkach zwykłych np. :

Po rozdzieleniu ułamka skracanie było możliwe, ponieważ ani w liczniku ani w mianowniku nie było już dodawania.

Na końcu znów skorzystamy z własności potęg oraz wzoru i stworzymy tangens do kwadratu: