Założenie: (żaden mianownik nie może być równy )

Po przekształceniu założenia

otrzymujemy . Jaką wartość musi mieć cosinus, aby podniesiony do kwadratu dał ? Oczywiście , ale nie można zapomnieć o , bo .

Ostatecznie założenie wygląda następująco:

Lewa strona równości jest nieco dłuższa od prawej, zatem to nią będziemy się zajmować. W mianowniku znajduje się przekształcona „jedynka trygonometryczna”, czyli :

Tu można było skracać bez obaw, ponieważ w ułamku między składnikami występuje znak mnożenia.

Założenie: (mianownik nie może być równy )

Jeżeli mamy wymnożone przez siebie dwa wyrażenia (u nas to oraz ) , a ich iloczyn ma być różny od zera, to żadne z nich nie może być równe , ponieważ , zatem otrzymujemy:

Po przekształceniu założenia otrzymujemy ostatecznie , bo jeżeli cosinus (sinus) będzie wynosił , to także cosinus (sinus) podniesiony do kwadratu będzie równy ) .

Zajmiemy się lewą stroną. Występuje tu nawias podniesiony do kwadratu, zatem pierwszy krok to skorzystanie ze wzoru skróconego mnożenia .

Po prawej stronie równości występuje sinus i cosinus, zatem kolejny krok to skorzystanie ze wzorów oraz :

Jednoczenie poprzez zastosowanie tych dwóch wzorów powstają kreski ułamkowe, które trzeba będzie przekształcić w jedną (występuje po prawej stronie) stosując wspólny mianownik. Dla ułatwienia rachunków zastosowano zapis , bo każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie.

Teraz najtrudniejsza część. Przyjrzyjmy się dokładniej licznikowi naszego ułamka. Występuje tu wzór skróconego mnożenia postaci , który należy zwinąć do postaci . Aby lepiej zobaczyć dany wzór skorzystamy z własności potęg:

Po prawej stronie równości występują nawiasy, zatem mamy tu większe możliwości do wykonania jakichkolwiek przekształceń. Na początku pozbędziemy się nawiasów wymnażając ze sobą kolejne elementy. Nie ma tu potrzeby zamiany tangensa i cotangensa na sinus i cosinus, ponieważ po lewej stronie nie występują.

Obie strony równości są identycznej długości. Można je sprawdzić na dwojako:

I sposób

Zaczniemy przekształcenia od lewej strony, występują tu sinusy podniesione do kwadratu dwóch kątów oraz , po drugiej stronie występują cosinusy również podniesione do kwadratu, zatem można je przekształcić ze wzorów oraz . Pamiętajmy o nawiasach aby nie zgubić znaków przy późniejszych obliczeniach:

II sposób

Zaczniemy przekształcenia od prawej strony, występują tu cosinusy podniesione do kwadratu dwóch kątów oraz , po drugiej stronie występują sinusy również podniesione do kwadratu, zatem można je przekształcić ze wzorów oraz . Pamiętajmy o nawiasach aby nie zgubić znaków przy późniejszych obliczeniach: