Lewa strona tożsamości jest dłuższa, także to ją będziemy przekształcać, na początku warto pozbyć się tangensa ze wzoru :

Zastosowano zapis dla ułatwienia działań na ułamkach, dzięki czemu wiadomo, które elementy można skracać. Po skróceniu otrzymujemy:

Założenie: (mianownik nie może być równy )

Lewa strona tożsamości jest dłuższa, zatem to ona będzie przekształcana. Na początku pozbędziemy się tangensa korzystając ze wzoru :

Dla ułatwienia zostanie zastosowany zapis aby uniknąć błędów związanych ze skracaniem ułamków:

Po prawej stronie tożsamości występuje jeden ułamek bez „ozdobników” poza nim, także wciągnijmy na kreskę ułamkową sprowadzając wyrażenia do wspólnego mianownika.

Obie strony równości mają podobną długość, także obojętne jest od której strony zaczniemy przekształcanie. Powyższą tożsamość można najprościej udowodnić dwoma sposobami i każdy z nich jest prawidłowy.

I sposób

Zaczniemy od lewej strony, gdzie można skorzystać z przekształcenia jedynki trygonometrycznej , co pozwoli nam uzyskać wyłącznie cosinus, ponieważ po prawej stronie występuje cosinus.

II sposób

Zaczniemy od prawej strony, gdzie można skorzystać z przekształcenia jedynki trygonometrycznej , co pozwoli nam uzyskać wyłącznie sinus, ponieważ po prawej stronie występuje sinus.

Założenie: (mianownik nie może być równy ). Ostatecznie otrzymujemy , bo jeśli cosinus jest różny od zera, to tym bardziej cosinus podniesiony do kwadratu też jest różny od zera.

Przekształcanie zaczniemy od lewej strony, ponieważ jest ona dłuższa. Przyjrzyjmy się nawiasowi – występuje tu przekształcona jedynka trygonometryczna dająca cosinus podniesiony do kwadratu :

Dla ułatwienia zastosowano zapis , aby uniknąć problemów z działaniami na ułamkach, dzięki temu wiadomo, które elementy można skracać.